混凝土结构有限元结构有限公司|[混凝土结构有限元]结构有限元

来源:单元作文 发布时间:2019-09-03 点击:

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范文一:结构有限元

--确定列高的方法:ID 表---------? LM 数组---------?按单元查找 -----?各单元比较找相关的最小自由度号-----? mj------?列高 --主对角线元素地址 数组[A]-------- 一维数组,存放[K]中元素 kij 数组长度 S=sum(hj) (j=1….N)数组[MAXA]-------- 一维数组, 存放[K]主对角线元素在数组 [A]中的地址数组长度是[K]的行数或列数+1,即 N+1 元素 MAXA(N+1)用 来存放假想的第 N+1 个主对角元的地址,用来确定第 N 列最后一个元素 的位置。 --计算主元地址的公式可写为:MAXA(j+1)= MAXA(j)+ hj 式中, j = 1, 2,…,N;hj——刚度矩阵[K]第 j 列的列高。 一维数组 A 的总长度(S) , 即刚度矩阵 K 按变带宽存贮的总存贮量:S = MAXA(N+1)- MAXA(1) ----某一元素在一维数组中的地址由其相应主元地址决定。 --1. 结构刚度矩阵之所以能化为带状矩阵,主要 利用了其 性和 性。 2. 结点约束信息表 ID 数组的作 用: 。 3. 结构刚度矩阵采用变带宽存储时,一维数组 A 存储 ,一维数组 MAXA 存 储 。 4.在等带宽存贮中,最小带宽 UBW 由 确定。 作业题:4. 图示结构为一平面桁架结构,按图示方式对结点 编码,若总体刚度矩阵采用等带宽存贮,总自由度 数 NDF 为 ,最大半带宽 UBM 为 ;若总 体刚度矩阵采用变带宽存贮,其总体刚度矩阵的第 5 个自由度,对应于第 结点的第 个自 由度,第 5 列的列高为 。 -- 结点荷载总列阵的组集

输入文件中要包含{Pc}的数据信息:读入结点力向量 N, F1, F2, F3, F4, F5, F6 --涉及到两个子程序: (1)计算整体坐标系下由跨间荷载引起的等效结点荷载。 (2)计算整体坐标系下由跨间温度引起的等效结点荷载。 ---1. 刚度矩阵的性质 对称矩阵、正定矩阵、 稀疏矩阵。 2. 三种存储方式 ? 方阵存储 ? 等带宽存储 ? 变带宽存储 压缩存储?利用对称性,等带宽存贮和变带宽存贮只存 贮刚度矩阵的上三角部分。即主对角线元素 以及上半带区(或顶线以下)内的元素。 3. 组集结构刚度矩阵工作流程: 单刚---------? ID 数组---------? LM 数组 -----?判断约束情况-----?对号入座组集总刚 不去存贮与刚性支承约束相应的行和列 4. 结点编号应得当 无论采用等带宽存贮或变带宽存贮,都要求结 点号码编得恰当,使得刚度矩阵的非零元素都聚集 在主对角线附近狭窄的带形区内。对于大型结构应 该特别注意选取恰当的结点编号方式。这是因总存 贮量大体上与带宽成正比的原故(对等带宽存贮, 则准确地与最大半带宽成正比) 。 -----线性方程组的若干直接解法 有限元法分析到最后总是归结为解线性代数方程组:[K]{δ}={P} 有限元法的求解效率很大程度上取决于线性代数方程组的解法(包括矩

阵的存储方式) , 因为在有限元法的整个求解时间中解线性代数方程组的 时间占了很大比重,当单元增多、网格加密、未知数成倍增加时,尤为 如此。 --线性方程组的数值解法一般有两种。直接解法:经过有限步算术运算, 可求得方程组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍入误差) 。迭代解 法: 用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的一种近似计算方法。 迭代法具有占存储单元少,程序设计简单,原始系数矩阵在迭代过程中 不变等优点,但存在收敛性及收敛速度等问题。 --本章介绍最基本的两类直接解法: (1)高斯消元法 针对[K]的等带宽存储 (2)LDLT 分解法 针对[K]的变带宽存储 ---高斯消元法的基本思想 基本思想:通过逐步消元(行的初等变换) , 把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组,然后用回代法解此 三角形方程组(简单形式)得原方程组的解。 两大步: 1. 消元 2. 回代 --用高斯消元法求解方程组 (1)如果[K]矩阵写成方阵的形式,则 高斯消元采用方阵存储算法。 (2)如果[K]矩阵写成带状矩阵的形式, 则高斯消元法采用等带宽存储算法。 --高斯消元等带宽存储 (1) 每一次消元运算,只需在带宽范围内进 行。 (2)元素 aij (i≤ j)在矩形数组中的行号和列号为:ROW=i COL=j-i+1 即行号不变,列号左移 i-1 (3)消元公式 (4)待修 改的方程号码 k 的变化范围 (5)方程中需修改的元素的下标变化范 围 (6)回代过程 -- 实对称正定矩阵的 LDLT 分解 结构刚度矩阵为实对称正定矩阵 [A]对称:[A]T=[A] ? [A]正定:[A]的各阶顺序主子式均大于零。即

--主从自由度的概念及其应用 杆件进入结点附近时,常常是和刚性很大的结点块联在一起,这 时杆件的刚度只能是指结点刚性块以外的部分,如果把杆件的长 度计算为结点之间的距离,势必会把杆件的刚度算得太小。 结点上所有的杆件轴线未必会相交于一点,常常有几根杆件的轴线偏 离结点。 -- 主从自由度的概念 若某一结点 s 的部分或全部位移分量可完全由另一个结点 m 的位移予 以确定,则称 s 为从结点,m 为主结点,这两个结点的相关位移自由 度称为主从自由度。 主从自由度可以是结点层次的,即一个结点的所有自由度与其他一个 结点的所有自由度耦合。 主从自由度可以是自由度层次的,即一个结点的某个自由度和另一个 结点的某个自由度的耦合。 ---采用主从自由度的优点 1. 使计算图示更为符合实际,或建立合理的简化计 算模型; 2. 减少待定的独立位移总数; 3. 避免因单元之间刚度相差过大而使总刚度矩阵出 现可能的病态。 ==--主从自由度处理的基

范文二:结构有限元分析

习题一

(第一章 杆系结构有限元分析的基本原理)

1.1试用材料力学方法建立式(1-56)所示的单元平衡方程。 提示:利用式(1-50)和材料力学公式 M?EIy??,Q?EIy???,并注意按照材力规定,单元两端截面上的剪力和弯矩的正方向如题图1-1所示。

??

?

??

题图1-1

解:先求应变能,记i,j端的位移列向量 [??=[???? ???? ???? ????],应变能?=

2

??1d2yΕΙ(2)∫02dx

??]

dx

根据结点位移构造单元的位移函数y,设

y=H1U??+H2θ??+H3V??+H4θ??=[H][δe] [H]=[H1 H2 H3 H4 ] H??为Hermite插值函数,满足以下条件:

′()′() H1(0)=1 H10=0 H1(l)=0 H1l=0 ′()′() H2(0)=0 H20=1 H2(l)=0 H2l=0 ′()′() H3(0)=0 H30=0 H3(l)=1 H3l=0 ′()′() H4(0)=0 H40=0 H4(l)=0 H4l=1

对于每个Hermite插值函数H??都可以假设为三次多项式 H??=a??0+a??1x+a??2x2+a??3x3 i=1,2,3,4

H??满足插值条件,例如:

i=1时,H1=a10+a11x+a12x2+a13x3

H1=a11+2a12x+3a13x2

代入插值条件得:a10=1; a11=0 ; a10+a11??+a12??2+a13??3=0 a11+2a12??+3a13??2=0

解得 a10=1; a11=0;a12=?2a13=3;

??

??

3

2

故 H1=同理得 H2= H4=

1??31????1

(??3?3??x2+2x3);

1??

223

(??x?2??x+x); 2

23

(3??x?2x);H3=3

32(x???x) 22

??1

令η=x??? ,则 H1=1?3η2+2η3;H2=3η2?2η3; H1=??(η?2η2+η3);H4=??(η3?η2) 外力势能 W=?(Q??V??+M??θ??+Q??V??+M??θ??)=?[????]??[????] [????]=[Q?? M?? Q?? M??]

2

ι1d2y??]??[??][故 π=U+ W=∫ΕΙdx????? (202dx

2

11d2[H]1????]??[??][][ =∫ΕI?? dη????? {}2320dη??

2[H]211ΕId??]????]??]??[??][[[ =∫?? ??dη????? (3220??dη

1ΕId2[H]d2[H]e?π

[δ]dη根据势能驻值原理得 [e]T=∫ 0l3dη2dη2?δ

??

?[Fe]=0

因此若令 [??

??]

=

1ΕId2[H]d2[H]

dη 则上式变为 ∫0l3dη2dη2

[????][????]=[Fe] 单元刚度矩阵[??

??]

=

1ΕId2[H]d2[H] dη ∫0l3dη2dη2

2

3

d2[H]dη2

如求k11,此时H1=1?3η+2η 故k11=∫0

1ΕIl

=?6+12η

12EI??3

(?6+12η)(?6+12η)dη=3

2

3

d2[H]dη2

再如求k23,H2=3η?2η;

=6?6η

H1=??(η?2η+η); k23=∫0

1ΕIl

23

d2[H]dη2

=??(?4+6η)

6EI??2

??(6?6η)(?4+6η)dη=?3

同理用公式k????=

1ΕId2[H]d2[H]

dη可计算其余单元刚度矩阵元素 ∫0l3dη2dη2

求得单元刚度矩阵为: 126??

2ΕI6??4??e

[k]=3[

???12?6??

6??2??2

平衡方程为[????][????]=[Fe].

?126???6??2??2

]

12?6???6??4??2

1.2在式(1-55)所示平面梁单元的弯曲刚度矩阵Ke中存在以下关系

??????3??=???1?? {?? ????????1??=??2??+??4?? (??=1,2,3,4)

说明以上关系式的物理意义。

????解:式(1-55)为对称矩阵??????=??????

126???126??

22??????6??4???6??2????

[??]=3[]

???12?6??12?6??

6??2??2?6??4??2

????

??3??=???1??的物理意义:在单元的近端(远端)发生单元线位移时引起的近端(远端)沿该线位移方向的力与在远端(近端)引起的同方向的力是一对平衡力,由于在单元坐标系下结点力都规定沿坐标系正方向为正,故方向相反需加负号。

?????? ????1??=??2??+??4??的物理意义:第j个位移分量发生单位位移时,??????

]=[??1??引起的近端力为[?????? ??2??],引起的远端力

????

[??????]=[??3???? ??4??],根据单元力矩的平衡,对远端取矩得 ???????????? ?????1??+??2??+??4??=0,故????1??=??2??+??4??,上式关系表明发生单

??

??

元位移分量时,引起的单元的力和力矩是平衡的。

1.3某个杆件??的单元局部坐标系如题图1-2所示,??????平面与格栅所在平面??????重合,??轴正方向与整体坐标系??轴相同。写出局部坐标系下的格栅单元刚度矩阵。

??

题图1-2

解:由于该杆件只有沿??方向的线位移、绕??轴角位移和绕??轴的角位移,所以根据空间梁单元的单元刚度矩阵,划去第1,2,6,7,8,12行和第1,2,6,7,8,12列对应的元素,即得该栅格单元的刚度矩阵:

12?? 0 ?6????=

?12?? 0[?6????

6????22??2????3

[??]6×6

0???????00????????0?6????0

(4+2??)??2??

6????0

(2?2??)??2??

????

?12??06????12??06????0????????00???????0?6????

0 2

(2?2??)????

6????

2

(4+2??)????]

其中 ??=

22

, ??=??2(1+2??) .

1.4 用本章§1-10所述杆系结构有限元法的求解步骤求解题图1-3所示各题。为便于与本书给出的答案相比较,建议每个梁单元的局部坐标系均取为与整体坐标系????????相同,且一律取单元左端结点为??端。要求给出:

⑴ 整体坐标系下的结点总位移矢量[??]

??]⑵ 各单元在局部坐标系下的单元结点力[????

⑶ 如有跨间荷载或变温荷载,应给出各单元局部坐标系下的等

????]效结点荷载[?????? ], [??????

⑷ 绘制变形示意图

⑸ 绘制梁的弯矩分布(弯矩正方向以使梁的下缘受拉,上缘受压为正)全梁划分为一个单元。

?

(?)

(?)

??)

题图1-3

解:(a)图:单元刚度矩阵

126???126??

[??]=[??????????]=[????

]=??6??4??2?6??2??2??3[?12?6??12?6??

]

6??2??2?6??4??2

结点位移列矢量:[??]=[0 0 ??2 ??2]T;

结点荷载列矢量:[??]=[?????]=[F1 M1 ??? 0]T; 由于[??????????][????]=[????] [??????]=??12?6????3

[

?6??4??

2],[????]=[ ??2 [????]=[??? 0 ]T ???? ∴

????3

(12??2?6????2)=???

??2=?????3?3??????

????????3

(?6????2+4??2??0

}?{

2)=??2=?????2?2??????故 [??]=[0 0 ?????3?3?????? ?????2?2?????? ]T

2]T

, ??

⑸ 绘制梁的弯矩分布(弯矩正方向以使梁的下缘受拉,上缘受压为正)全梁划分为一个单元。

?

(?)

(?)

??)

题图1-3

解:(a)图:单元刚度矩阵

126???126??

[??]=[??????????]=[????

]=??6??4??2?6??2??2??3[?12?6??12?6??

]

6??2??2?6??4??2

结点位移列矢量:[??]=[0 0 ??2 ??2]T;

结点荷载列矢量:[??]=[?????]=[F1 M1 ??? 0]T; 由于[??????????][????]=[????] [??????]=??12?6????3

[

?6??4??

2],[????]=[ ??2 [????]=[??? 0 ]T ???? ∴

????3

(12??2?6????2)=???

??2=?????3?3??????

????????3

(?6????2+4??2??0

}?{

2)=??2=?????2?2??????故 [??]=[0 0 ?????3?3?????? ?????2?2?????? ]T

2]T

, ??

所以由 [??][??]=[??] 得结点1处的结点力为: F1= F2=

????????3????????3

(?12??2+6????2)=?? (?6????2+4??2??2)=????

??]因此单元结点力为:[????=[?? ???? ??? 0]T

变形图和弯矩图:

(b)图:单元刚度矩阵同(a)

126???126??

22??????6??4???6??2??????

[??]=[????]=[??]=3[]

???12?6??12?6??

6??2??2?6??4??2

结点位移列矢量:[??]=[0 0 ??2 ??2]T;

???]=[P1 M1 0 0]T 直接结点荷载列向量:[??]=[??

??

等效结点荷载列向量:[??????]

=[????? ?

212

11121

???? ?????

2

2T

2

1112

????]

2

T

???]+ [??]=[??根据平衡方程得:

??????

??

[??????]

=[F1 ?? ?????

12

????]

??????

??3

??3

(12??2?6????2)=????

2

112

1

(?6????2+4??2??2)=

??2=?????4?8??????

}?{3?2??2=?????6??????????

代入平衡方程得: F1= ??=

????????3????????3

(?12??2+6????2)=????

2

1

(?6????2+2??2??2)=

512

????2

因此结点位移矢量为:[??]=[0 0 ?????4?8?????? ?????3?6?????? ]T;

??]??

单元结点力为:[????=[??]?[??????]=[ ???? 1?12????2 0 0 ]T

变形图和弯矩图: (c)图:单元刚度矩阵

?? 0 0

[??]= ????

? ?? 0 [0

????

12????????36????????2

6????????24????????

?

??????

0?

12????????36????????2

00

??????

?

0?

12????????36????????2

0?

6????????22????????

12????????36????????2

00

?

0 6?????? ??2 2??????

?? 0 6?????? ?2 ??4??????

]??

结点位移列向量 [??]=[0 0 0 ??2 ??2 ??2]T ∫??????????=∫??????0????d??=

0.5?

?2??2?2??2

1

2????????0

?

∫??d??=0 ×2××

3

2

1

?38

?2??2

∫????????????=∫??????0????d??=

0.5?

??]等效结点荷载列向量[??????

16

1

2

2????????0

?

=????????0?2

6

2T

1

=[0 0 ????????0? 0 0 ?????????0?]

6

1

由于单元无结点荷载和跨间荷载,所以[??2]=[??2?? ??]由单元的平衡方程得:

??2=0

????????0?2??2 12????6????

??3????2???2????2=0 ???2=?12???? ??????0?2??6??????4??????12 ??2=??2+??2=?????????0?}6????{????6

??2=0

故[??]=[0 0 0 0 ???????0?2??2?12???? ???????0?2???6????]T 所以1号结点杆端内力为: N1=F1=? Q1=F2=? M1=F3=?

??]因此 [????

??????????

??2=0 ??2+

??16

6????????2

12????????36????????2

??2=0

16

+

2??????

??2=????????0?2

2

16

2T

=[0 0 ????????0? 0 0 ?????????0?]

16

2

16

2T

?[0 0 ????????0? 0 0 ?????????0?] =[0 0 0 0 0 0]T

即仅在温度变化情况下只发生变形,不引起内力。 变形图和弯矩图:

(d)图:单元刚度矩阵同(c) ?? 0 0

[??]= ????

? ?? 0 [0

????

12????????36????????2

6????????24????????

?

??????

0?

12????????36????????2

00

??????

?

0?

12????????36????????2

0?

6????????22????????

16

12????????36????????2

00

?

0 6?????? ??2 2??????

?? 0 6?????? ?2 ??4??????

]??

16

2

??]等效结点荷载列向量[??????

=[0 0 ????????0? 0 0 ?????????0?]

2

T

结点位移列向量 [??]=[0 0 0 ??2 0 ??2]T 由单元的平衡方程得:

????

4??????

??

}?{??=?1???????2??

20??2=?????????0?224????

16

??

??2=0

??2=0

故 [??]=[0 0 0 0 0 ? ??????0?2???24????]T 所以1号结点杆端内力为: N1=F1=? Q1=F2= M1=F3=

??????

??2=0

6????????22????????

6????????22????????

??2=??2=

(?24????????0???)=?

??

1

2

????????0?2

4??12

(?24????????0???)=?

??

1

2

????????0?2

2号结点杆端内力为: Q2=F4=?

6????????2

??2=?

6????????2

(?24????????0???)=

??

1

2

????????0?2

4??

因此杆端内力为:

??] [????

=[0 ?

????????0?2

4??

?

????????0?2

12

????????0?2

4??

?

????????0?2

6

]

T

?[0 0 =[0 ?变形图和弯矩图:

????????0?2

64??

0 0 ?

????????0?2

4

????????0?2

6

4??

T

????????0?2

? 0

????????0?2

0]

T

1.5题图1.4为长度为L,弯曲刚度为??????的梁,左端固定,右端为活动铰支座,跨中受有集中力P 。给出1.4题的5点要求。 图

解:(1)由单元刚度矩阵组集结构刚度矩阵: 设??=2??

126??

??????6??4??2①②

[K]=[K]=3[

???12?6??

6??2??2

写成分块形式有:

[K①]=[

K11

K21K22K32

?126???6??2??2

]

12?6???6??4??2

?126???6??2??2

]

12?6???6??4??2?126???6??2??2

]

12?6???6??4??2

[K②]=[

126??

K12??????6??4??2

]=??3[K22?12?6??

6??2??2126??

K23??????6??4??2

]=??3[K33?12?6??

6??2??2

刚度矩阵膨胀后

126???126??0

6??4??2?6??2??20 ????

[K①]=3?? ?12?6??12?6??0

??

6??2??2?6??4??20 [00000]00000 0126???126?? ???? 22 [K②]=3?? 06??4???6??2?? ??

0?12?6??12?6?? [06??2??2?6??4??2]则结构的刚度矩阵:

126?? 6??4??2

???????12?6??

[K]=3

?? 6??2??2 00[00?126??

?6??2??224008??2?12?6??6??2??200

00

?126??

?6??2??2 12?6?? ?6??4??2]

结点位移列向量 [??]=[0 0 ??2 ??2 0 ??3]T 结点荷载列向量 [??]=[Q1 M1 ??? 0 Q3 0]T

??]??

由于跨间没有分布荷载和温度变化,则[????=[0] ]=[????

则由结构的平衡方程得

??2=?96??????

??????????222(8????2+2????3)=0 ???2=?32???? ??3?? ??????222) ??=????(6????+4????+4????3=0 223??}{38??????

??3??????

(24??2+6????3)=?P

7????3

故 [??]=[0 0 ?7????3?96?????? ?????2?32?????? 0 ?????2?8??????]T 求单元结点力:

Q

[F①]=[1]=[K①][??①]

M1所以 Q1= M1=

????????3

????????3

(?12??2+6????2)=

38

1116

??

616

(?6????2+2??2??2)= ????=

????

同理得: Q3=

????????3

(?12??2?6????2?6????3)=

11

616

16

516

?? ?? 0]

T

所以 [??]=[ ?? ???? ??? 0

516

1.6题图1-5所示为一由??个杆件构成的平面铰结杆系,假定各杆均具有相同的拉压刚度EA,并已给定所有结点的坐标(????,????),求结点A在整体坐标系下的位移矢量δ=[UA,VA]。

T

题图1-5

?

解:设第??根杆的长度为????,与水平线夹角为????,则该杆的单元刚度1????0??]矩阵为: [????=[?????1

0坐标变换矩阵为: cos?????sin????

[????]=[

00 [R]=[

cos?????sin????

sin????cos????00sin????

] cos????

00cos?????sin????

00R0]=[] sin????0Rcos????

0000

?1010

00] 00

则??杆在整体坐标系下的刚度矩阵为: ??2??????][??] [????]=[????]T[??????=[????2????????????其中 C=cos????;S=sin????

在刚度矩阵的组集和叠加中只有A点的各杆的刚度进行相加,并在求解方程中予以保留,而其余的不参与求解,所以

2????Σ?? [??]=[

??Σ????

????

??2????????2

???2???????2????

????????2] ??????2

Σ????][??] Σ??2??

其中Σ表示对所有杆与水平夹角的相应值求和;

2??Σ??故 []=[

??Σ????

Σ????]

Σ??2

?1

2????1 Σ??[??]=Σ??2Σ??2?(Σ????)2[

???Σ?????Σ????][????]

Σ??2????

1.7(a)在式(1-181)中,若给定强迫位移????=??0,能否同时给定相应的荷载分量?????应如何确定????。

(b)题图1-6所示两跨连续梁的中间支座B发生下沉,已知沉陷量为?。假设两跨梁具有相同的跨度L和弯曲刚度??????,按本章所述强迫位移的处理方法,求整体坐标系下所有其它未知的结点位移分量和各支座反力。

题图1-6

解:(a)可以同时给定相应的荷载分量????,相当与在该支座处设置了一个弹簧在力????作用下,发生了位移??0,设弹簧刚度为k,并充分大,并假设该外力加在第??个结点上,则刚度方程变为 K??1δ1+?+K???11δ???1+(K????+K)δ??+K????δ??=???? 其中????=????0 而其余的刚度方程不作修改 (b)单元刚度矩阵为: 126??

??????6??4??2①②

[K]=[K]=3[

???12?6??

6??2??2则结构的刚度矩阵为:

?126??

?6??2??2

]

12?6???6??4??2

126?? 6??4??2

???????12?6??

[K]=3

?? 6??2??2 00[00?126??

?6??2??224008??2?12?6??6??2??200

00

?126??

?6??2??2 12?6?? ?6??4??2]

荷载列向量 [??]=[ RA 0 RB MB RC 0 ]T 位移列向量 [??]=[ 0 ???? ?? 0 0 ???? ]T

引入强迫位移 ??0=??,并对刚度方程作修改,可以得到 ??2?K23??0=K21δ1+K22δ2+0δ3+K24δ4+K25δ5+K26δ6 故 6????0

????????3

=

????????3

4??2???? ∴ ????=

3??02??

=?

3?2??

??6?K63??0=K61δ1+K62δ2+0δ3+K64δ4+K65δ5+K66δ6 故 6???=4??2???? ∴ ????=

3?2??

3?2??

所以结点的位移分量为[??]=[ 0 ? RA= RB= MB= RC=

????????3????????3????????3????????3

?? 0 0 ]

2??

3?

T

(6??????+12?)=

3?????????3

24?????????3

(6??????+24?+6??????)=(2??2????+2??2????)=0 (12??6??????)=

3?????????3??3

;RB=

24?????????3

所以各支座反力为:RA=

3???????

;RC=

3?????????3

习题二

(第二章 结构刚度矩阵的贮存和组集)

2.1 对题图2-1所示平面桁架建立其结构总刚度矩阵??6×6和结点荷载总列阵??6×1,假定各杆的EA相同。

题图2-1

解:各单元的刚度矩阵

1????0

[K②]=[K④]=[K⑥]=[

???1

00?1

[R]=[

00

100 0000?1

00] 10

0?10 00100

00] 00

对于①、⑤号单元,与其X轴夹角为90°,则

10

????????00

故 [K①]=[K⑤]=[ ?? ]T[

????10

00000

????????01 0

=[

???000

0?10对于③、⑦号单元 cos???sin??

[R]=[

00其中cos??=

?1 0100?1] 01

00[]]?? 00

sin??cos??0000cos???sin??

00] sin??cos??0?10 00100

00[]]?? 00

sin??=1

????????0

故 [K③]=[K⑦]=[ ?? ]T[

?????1

??2????

=[????2

??????????

??????2????????2

???2???????2????

????????2] ??????2

其中 C=cosθ ;S=sinθ;??=√?? 初始ID表时仅考虑线位移 11101 ID=???? 0??

011 [001 1

1] 0000 则最终ID表:ID=????

12??

300 [450 060]

单元定位数组: ① 单元 LM=[000‥120

‥]

② 单元 LM=[120‥450‥] ③ 单元 LM=[000‥450‥] ④ 单元 LM=[000‥300‥] ⑤ 单元 LM=[300‥450‥] ⑥ 单元 LM=[450‥060‥] ⑦ 单元 LM=[3

00‥060‥]

各单元刚度矩阵膨胀后的位置,只写出非零元素

①单元 II=1 JJ=2 ②单元 II=2 00 00

[K①]=????????010?1

???[0000

]

0?101

JJ=4

10?1

????????00 0

[K②]=[

????101

00000] 00

③单元 II=1 JJ=4 ④单元 II=1 JJ=3

c2

cs ?c2?cs

[K③]=????????cs

s2 ?c2?s2???[

?c2

?csc2cs] [K④]=?cs?s2cs

s2

10?1

0????????00 0

0???[

?101

0] 000

⑤单元 II=3 JJ=4 ⑥单元 II=4 00 00

[K⑤]=????????010?1

???[0000

]

10?10?100

1[K⑥]=????????00 00

???[?1010

]

0000 ⑦单元 II=3 JJ=5 c2

cs ?c2?cs [K⑦]=????????cs

s2 ?cs?s2???[

?c2

?csc2cs] ?s2

?s2

cs

s2

由定位数将各单元对应的元素分别送入总刚中得

JJ=5

[??]6×6

1??2 0??+?? ????0 ??

=????

1

0 ??

0 0 ????0?[??

1 ??

00

??????1??2+???

1??

00

1??????????2??

??2 ???

00

2??2+??????????

???

0 0 ??2 ??]

????

1????2???

+?0

1

其中 C=cosθ ;S=sinθ;??=√?? 结点荷载列向量 [??]6×1=

T11

[ 0 ?2???? 0 0 ????? ?2???? ]

2.2题图2-2所示为一简单平面刚架,柱子和横梁的拉压刚度与弯曲刚度分别为????1,????1和????2,????2,建立其总刚度矩阵[??]6×6和结点荷载总列阵[??]6×1。

1

题图2-2

解:单元刚度矩阵

[K①]=[K③]=[ ?? ]??[????][??] 0 ?1 0

=

0 0[0

100000

0000001000010?10000

0??0 0 0 0 1]

??1 0 0

× ????1

???1 0 [00 ?1 0

×

0 0[0 ??1 0 6????1 ???1 = 12????1

???1 0 6????1[??1 ??2 0 0

[K②]= ????2

???2 0 [0

????212????1

????1

12????1??16????1??10

6????1??14????1??1

?

????1??1

0?

12????1??16????1??100

????1??1

?

0?

12????1??16????1??10?

6????1??12????1??1

12????1??16????1??100

?

0 6????1 ??1 2????1 ??1

0 6???? ?1??14????1 ??1]

1000000010000

????1??1

0000?10?

000100

6????1??100 0 0 0 1]?

12????1??10?

????1??1

?

4????1??16????1??10

6????1??100?

????1??1

00

????1??1

00

6????1??10

2????1??1

00

12????2??26????2??200?

12????2??26????2??2 0 2????1 ??1 6????1 ??1

0 4????1 ??1]

??16????1

6????2??24????2??2

?

????2??2

00

????2??2

?

0?

12????2??26????2??20?

6????2??22????2??2

12????2??26????2??200

?

0 6????2 ??2 2????2 ??2

0 6????2 ???24????2 ??2]

初始ID表: 最终ID表:

10

ID=[

1010101111111111111001] ID=[10040

20500000000000003] 06

定位数组:① ????=[0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3] ② ????=[1 2 0 0 0 3 4 5 0 0 0 6] ③ ????=[0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 6] 根据单元定位数组形成总刚度矩阵: [K]6×6= ??2 0 6????1 ???1 ????2 ???2 0 [0

????2

????1??1

?

12????2??24????1??1

6????1

+

??16????2??2?

????2??2

0?

12????2??26????2??20

??2

6????2??2+0

4????2

????2??2

?

0?

12????2??26????2??20

????1??1

?

6????2

??22????2??2

6????1??1+

12????2

?

??26????2??2 6????2

??22????2

??2

6????1

??16????2 ? ??2

4????14????

+2]??1??2

结点荷载列向量 ②单元的等效荷载: [??????]=

??

[??????]

12

112

2

12

112

2T

=[ 0 ????? ????? 0 ????? ???? ]

所以结点荷载列向量为: [P]6×1=[ ??1 ????? ?

21

112

???? ??1 ?????

2

2

1112

???? ]

2

T

2.3对题图2-1所示平面桁架和结点编号,采用等带宽方式存贮其总刚度矩阵[K]6×6时,式(2-16)给出的??????等于多少?它与K的实际???????是否相等?原因何在?这对计算结果有无影响? 最大半带宽??????

题图2-1

解:按式(2-10)计算得:

??????=(1+????????)×??????=(1+3)×2=8 ???????=5 实际最大半带宽:??????

???????是 ??????是在结构无约束下的刚度矩阵的最大半带宽,而????????????引入约束下的刚度矩阵的最大半带宽。

2.4对题图2-1 所示桁架和结点编号,采用变带宽一维数组A存贮其总刚度矩阵??,规定各杆单元均取小号端为??端。按本章方法计算??的各列列高hj,并参照图2-15的形式表示??,??和??????。计算所得的hj与??的实际列高j是否相等?原因何在?这对计算结果有无影响?

题图2-1

解:将各单元的定位数重写:

① ????=[0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0]

② ????=[1 2 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0] ③ ????=[0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0] ④ ????=[0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0] ⑤ ????=[3 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0] ⑥ ????=[4 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0] ⑦ ????=[3 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0] 列高计算:

?1=1 ?2=2???2+1=2?1+1=2 ?3=3???3+1=3?3+1=1 ?4=4???4+1=4?1+1=4 ?5=3???5+1=5?1+1=5 ?6=3???6+1=6?3+1=4 ?? 0 0

[K]=

0 0 [0

1

1??

??2??

??????1?

??2??

2??

1??

00?

??2??

??2??

1???????

+ 00000

00+00??(8)??(7)??(6)??(5)00

00

+000

+0

1?

0 ???? ??? ??2 ? ??

0 0 ??2 ??]0

??(1) 0 0

[A]=

0 0[0

??(2) ??(4)0??(3)000000

??(11)

??(10)??(9)0

??(16) ??(15)

??(14)

??(13) ??(12)]

2.5写出题图2-3所示刚架结构总刚按变带宽存贮时:

(1) 各列列高hj

(2)主元在一维排列中的地址MAXA( ) (3)变带宽存贮一维数组总容量S

1

?

题图2-3

解:初始ID表: 最终ID表: 11111000

0 ID=[

0111030001110] ID=[25600

1

1

1

1

08

单位定位数组:

① ????=[0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 4] ② ????=[2 3 0 0 0 4 5 6 0 0 0 7] ③ ????=[5 6 0 0 0 7 8 0 0 0 0 9] (1) ?1=1 ?2=2???2+1=2?1+1=2 ?3=3???3+1=3?3+1=1 ?4=4???4+1=4?1+1=4 ?5=5???5+1=5?2+1=4 ?6=6???6+1=6?2+1=5 ?7=7???7+1=7?2+1=6 ?8=8???8+1=8?5+1=4

001004007]0

9

?9=9???9+1=9?5+1=5 (2) MAXA(1)=1 MAXA(2)=2

MAXA(3)=MAXA(2)+?2=2+2=4

MAXA(4)=4+?3=7 MAXA(5)=7+?4=11 MAXA(6)=11+?5=15 MAXA(7)=15+?6=20 MAXA(8)=20+?7=26 MAXA(9)=26+?8=30 (3)S=MAXA(10)?MAXA(11)=30+5?1=34

习题三

(第三章 线性方程组的若干直接解法)

3.1 证明若[A]为??阶对称正定矩阵,则[A]的所有对角线元素必为正数。 解:假设矩阵[A]为如下形式:

??11??11???1????21??22???2??

[A]=[????] 为一个n×n的对称矩阵,即

????1????2???nn ??????=??????, ??≠??,??=1,2,3,?n

现证明如果该矩阵[A]为??阶对称正定矩阵,则由正定矩阵的定义出发证明其所有对角线元素为正数;

定义指出对于一个??阶对称矩阵[A],若存在任意一个非零列向量[Q],使得QTAQ恒大于0,则矩阵[A]为一个对称正定矩阵; 假定存在一个列向量[Q],所有其余分量为1,所有其余分量为0,则计算QTAQ的值;

??11

??21

QTAQ=[0,0,?,1,?,0]T[?

????1

??11??22?????2

???1?? 0 ???2?? ? ??] 1 ???nn ?

[0]

0 ?

=[????1????2????????????1] 1 =??????>0

? [0]

由于对任一列向量[Q],QTAQ恒大于0,则证明[A]的所有对角线元素必为正数。

3.2 证明下面的矩阵

2?10

[A]=[?14?1]是一个对称正定矩阵。

0?12

证明:利用[A]为对称正定矩阵的充分必要条件:

??????(A??)>0 (j=1,2,3)

2?10

??????(A1)=|?14?1|=12>0

0?122?10

??????(A2)=|?14?1|=7>0

0?12

??????(A3)=2>0 即所有顺序主子式全大于0 则由以上计算结果证明矩阵[A]为一个对称正定矩阵 3.3 对题3.2中的[A]完成????????分解。 解:由公式可依次求得: ??11=??11=2

??22=??22???12??12=4?(?1?2)×(?1)=7?2

??33=??33?∑2??=1????3????3=??33???13??13???23??23=2?2?7=12?7

??12=??12=?1 ??13=??13=0

??23=??23?∑1??=1????2????3=??23???12??13=?1

??33=??33?∑2??=1????3????3=??33???13??13???23??23=12?7 ??12=??12???11=?1?2 ??13=??13???11=0 ??23=??23???22=?2?7 则矩阵[A]展开为以下形式:

10021???

[A]=??????=[210][0

2

0?10

7

01?10

72

0][2] 2

01?127

00017

3.4 采用????????分解算法解方程组????=??,其中??与3.2中的??相同, [A]=[116?3]??

解:由于矩阵[A]分解为????????形式,则求解X需进行以下转换:

????=?????????????=???????=?? (令????????=??) ???=(????)?1???1 ?? 及 ??=(??)?1?? ???=(????)?1???1 (??)?1??

已将现????,??,??求出,仅需求其逆矩阵,即可求出?? 100 2

1

(????)?1=[210] ???1= 0

12

1

77[01

[B]=[16]

?3

101

1???1?1?1

则??=(??)?? (??)??=[

217

27

30

1

27

110 127

()?10 ??=[012]

77

00112]

0 20

0] 02

7 100[

1

0 111

127

0 [012][16]

7?37

00112]

7

317

= 49

135 [13723.5 对下面的对称但非正定矩阵A进行LDLT分解,其中

?310

[A]=[?1?6?1]

0?1?3

解:由公式可依次求得: ??11=??11=?3

??22=??22???12??12=?6+1?3=?17?3

??33==??33???13??13???23??23=?3+3?17=?48?17

??12=??12=?1 ??13=??13=0 ??23=??23???12??13=?1

??33=??33???13??13???23??23=?3+3?17=?48?17 ??12=??12???11=1?3 ??13=??13???11=0 ??23=??23???22=3?17 则矩阵[A]展开为以下形式:

1

[A]=????????=[3

1

01

317

0?30

17

0][0?

3

100

1013

0][

0148

?

1700

317

1

3.6 题图2-2建立的门式刚架的总刚度矩阵??,如不作进一步处理,将呈现一定程度的病态。试以宽为??,高为?的矩形梁为例,分析出现病态的原因。为简化分析,设??1=??2=??,????1=????2=????,????1=????2=??????。

解:对于题2-2建立的门式刚架的总刚度矩阵??中得主对角线元素 K11=K22=K44=K55=其中 ??=则

???312

12??????3

+

??????

=

??????

(1+

12??????2????

??=???

?2??2

12??????2????

==

?()2??

?1 令其为??=()

??

??????

?

2

故 K11=K22=K44=K55=(??(X)) K14=K41=?

??????

2

??????

所以总刚度矩阵??中出现类似(3-66)中得矩阵形式。 由于α?1,则{(1+α)

????2??

}?(

)是两个相近数的相减,

其结果可能导致有效数字的严重损失,导致位移分量δ??及δ??发生很大的误差,因此呈现一定的病态,而??=(),即梁的尺寸?远小于

???

2

跨长??是导致这一病态的原因。

习题四

(第四章 杆系结构静力分析计算程序)

4.1 如题图4-1所示,承受水平荷载的7层二维框架,各横梁受有均布荷载及跨间集中荷载,略去橫梁的轴向变形。各层高度处,两外柱的水平位移与中柱的水平位移相等,建立输入数据文件。

3

??/?

h/2

?

h/2

题图4-1

材料类型表:

单位:长度单位为米(??)

;力的单位

(????)(千牛顿)。 解:根据划分的单元,结点及材料类型表建立输入数据文件。

习题五

(第五章 杆系结构分析的若干补充问题)

5.1 材料力学给出的矩形梁横截面上剪应力随梁高的变化如题图5-1所示,试据此导出矩形截面的剪切形状系数????=

56

/?

???

题图5-1

fsQ212解:由单位长度梁的剪切应变能Us?,且 ?dA??A2G2GA3Q4y2??(1?2) 2Ah

则可计算:????= =

??29??2

(1∫2?????24??219??2??

?

4??2?2

??d??

8y2h2

??216??4(1+4∫2????2???2?

?

=

9??2??2????29??2??

(??+

16??55?4

?

8??33?2

)︱???2

3

??2

??+16×??8×? =(25?4323?282????2 = 所以????=

56

3??25????

5

=

6???2

2????

5.2仅承受面内荷载作用的曲梁,其主要变形是弯曲变形。写出略去轴向变形和剪切变形后面内问题的悬臂曲梁的总应变能表达式,并由此导出面内问题的悬臂曲梁单元的柔度矩阵[??]。

解:对于仅考虑面内荷载的曲梁,悬臂梁单元的总应变能为: ??????=[????

1

??

????

??????????]T,????=[??

????????????]T

01???11 U=∫(??)??(??)??0d?? ????20

??????1作变换 α=??0?β,及由 ????=????可得 U=??(??(??)????) 2??

0???1其中 ??=??0∫??????d?? ????0

1??

??

由于略去轴向变形和剪切变形,则只考虑梁的平面弯曲 即 ???1=(??????)?1

U=

????

(??)2??1

??0????????

{∫0??????

??

??

??0d??}???? ?? ? δej=??????

由卡氏第三定理得 δej=

?u

?????

??即为悬臂梁单元的柔度矩阵 ??=

?(1?cos??0? ????????????

??3

sin2??0??03ε20

?????(1?cos??0?2)????????

??03ε3??03(1?cos??0)

?[????????????其中 ε2=

2??0?sin2??0

2

??03(2ε3?ε2)

??03

sin2??0

2

)

??????

??03(1?cos??0)

??????

??0??0??????

?

??03ε3

]

, ε3=??0?sin??0

5.4 阅读第四章三维框架算例的输入数据和计算结果。 (a)写出作用在20号结点上的结点荷载。 (b)以结点13与16,14与15为例,验证关系式 ??????=???????(?????????)×????

{??????=??????+(?????????)×????

??????=?????? 是否成立。

(c)该算例未略去柱子的轴向变形,从计算结果看可否略去其轴向变形。 解:(a) 20号结点上的结点荷载 [FE]=[00

(b)验证关系式:

13与16结点坐标:13(8,0,8) 16(8,8,8) 用16号结点的位移值计算13号结点的值:

??????=?0.006618 ??????=0.019946 ????=0.002060

??????=?0.006618+8×0.002060=0.009862 ??????=0.019946+0×0.002060=0.019946 ??????=0.002060

而13号结点的相应位移值为:??????=0.009862 ??????=0.009862,??????=0.019946, ??????=0.002060

所以只有??????=???????(?????????)×????的关系式在13号与16号结点上不成立。

14与15结点坐标:14(0,0,8) 15(0,8,8) 用15号结点的位移值计算14号结点的值:

??????=?0.006618 ??????=0.003469 ????=0.002060

??????=?0.006618+8×0.002060=0.009862 ??????=0.003469 ??????=0.002060

0]T

而14号结点的相应位移值为:

??????=0.009859,??????=0.003469, ??????=0.002060 故只有式 ??????=???????(?????????)×???? 不成立

习题八

(第八章 弹性力学问题有限元法概述)

8.1 有限元法的基本思想是用“单元”之间仅在结点处连接的离散化计算模型去近似连续介质的理论模型。试以弹性力学平面问题中的三结点三角形单元为例,形象地表示这种离散化模型。 解:例如,像图所示的任意形状的连续体用三角形单元离散。 图

8.2对图8-1所示三结点三角形单元,设单元位移模式取为式(8-43)。试根据第270页提出的形函数Ni,Nj和Nm应满足的两条基本性质,导出它们的表达式(8-44)~(8-46)。

?

?

?

题图 8-1

??

解:??,??,??三个结点的坐标记为 (????,????),(????,????),(????,????) 形函数满足的条件为:

①形函数是坐标(??,??)的线性函数;

②????在??点处为1,在??,??点处值为0,????,???? 根据①②以????为例:

设 ????=????+??????+?????? 1=????+????????+???????? 0=????+????????+???????? 0=????+????????+????????

????=

1????[0????0????

????????]????

?

1????[1????1????

????????]????

=

???????????????

?2??

????=

1[11

1????0????]0????

?

1????[1????1????

10]0?

1????[1????1????

????????]????

=

?????????

?2??

????=

1????[1????1????

????????]????

=

?????????

?2??

对于????=????+??????+??????用同样的方法可得

???????????????????????????????????

??2??; ????=?2??, ????=2??, ????=同理 ????=

???????????????????????????????

?2??,????=???2??; ?2??,????=??

上面各式即为形函数中得系数,即为表达式(8-44)~(8-46) 故 ??=????????+????????+???????? ??=????????+????????+????????

8.3以作用在下图所示三角形的ij边上的分布荷载????为例,说明其等效结点荷载中“等效”一词的含义。

??

解:[????]为沿ij边上的分布荷载为例,说明其等效结点荷载,????在

??,??结点上的值为0

??

[????]=??∫[??]??[??]d??

ij

=

??

[t∫????d??0????

??

t∫????d??0????

000]

T

????, ????和????在ij边上线性分布 ????=1? ????=; ????=????+

??

??

??

??

?????????????

??

???????????

所以: ??????=

??

t∫????d??0????1

=

??

t∫(101

?)(????+

??

d??

=(???????)????+????????

6??2 ??????=t∫????d??=t∫(????+0????0?? =(???????)????+?????? 3??2

这里“等效”一次是从能量的角度来说的,即分布荷载在ij边上所做的虚功与其等效结点荷载所做的虚功相等。

8.4建立下图所示平面应力问题的结点静力平衡方程组Ka?P的形式。其中总刚度矩阵K的构成方式与平面桁架问题相比有何不同?

1

1

??

????

???????????

)d??

题图 8-2

解:当已知每个结点的坐标时,每个单元的刚度矩阵可表示如下: ??????????????????

[????]=[??????????????????] 其中每个子块为2×2的矩阵

??????????????????每个二阶子块可表示为:

[??????]=

????4(1???2)??

[

??????????+

????????+

1???

21???2

????????????????

??????????+????????+

1???

21???2

????????

????????

]

??=??,??,??;??=??,??,??

根据每个单元三个结点的坐标值可求得该单元的刚度矩阵[????] 用每个单元的结点编号表示刚度矩阵: ??44

[??①]=[??34

??14??11

[??②]=[??31

??21??33

[??③]=[??53

??23

??43??33??13??13??33??23??35??55??25

??41

??31] ??=4,??=3,??=1; ??11

??12

??32] ??=1,??=3,??=2; ??22

??32

??52] ??=3,??=5,??=2; ??22

根据约束条件,总刚度矩阵只是结点号为1,2,3,所对应的叠加 K11+K11 [] K= K①

21

①②[K31+K31

K12

②K22②K32

++

③K22③K32

②③

K23+K23 ①②③ K33+K33+K33]??3]?? ??3]??

K13+K13

②①

已知结点列向量[??]=[??1未知结点列向量[??]=[??1

2??2

其中刚度矩阵的每个子块为二阶方阵,????=[????]1×2 ????=[????]1×2 ??=1,2,3 最后结点的静力平衡方程组为 [??]6×6[??]6×1=[??]6×1

总刚度矩阵[K]与平面桁架问题的对比:

总刚度矩阵[K]在叠加的过程中不仅对主对角线元素要叠加,而且其他子块也有叠加部分,例如K13+K13,但对桁架结构在形成刚度矩阵时只有主对角线元素的叠加。

习题九

(第九章 等参数单元)

9.1证明第304页中的如下论述:由式(9-19)和(9-21)即知,这种四结点等参数单元在整体坐标系下也必然满足常应变准则。 证明:式(9-19)为 1=∑4??=1????(??,??)

4

∑ 式(9-21)为 ??=∑4??(??,??)??;??=??????=1??=1????(??,??)????

整体坐标系下单元内一点的位移模式可用式(9-3)表示 ??=∑4??=1????(??,??)????

{ 4

∑??=??=1????(??,??)????

对于给定的常应变,位移分布模式为 ??=??+????+???? {??=??1+??2??+??3??

456

对于结点??的位移

??=??+????+????

{????=??1+??2????+??3???? ??=1,2,3,4

??45??6??

将上式代入式(9-3)并考虑(9-19)式和(9-21)式得

44

()∑()∑ ??=??1∑4????,??+??????,??+??????23??=1??=1??=1????(??,??)

=??1+??2??+??3?? 同理 ??=??4+??5??+??6??

即等参数单元在整体坐标系下也满足常应变准则。

9.2 证明:四结点等参数单元坐标变换的雅可比行列式J在图(9-2)所示四边形的四个角点处与该处内角的正弦成正比。 证明:以1结点为例

1号结点在母单元中得坐标为(-1,-1)代入雅可比矩阵(9-29)式,得

??1??1

11?00??2??222

[J]=[11][??3??3]

?0022??4??4 =[

???1+??2???1+??4

2

2

21

21

1

1

???1+??2???1+??4

2

2

21

21

11

]

??2???1

故 |J|=|?????

41??2???1

??4???1|

=[(??2???1)(??4???1)?(??4???1)(??2???1)]

4

111

?·12?sin??1 =??1=×14

2

2

2

1

?·12?sin??1 =14

4

1

?、14?为12、14的长度 其中??1为1,2,4结点围成的三角形面积,12

所以 |J|∝sin??1 同理可得[J]∝sin???? (??=2,3,4)

9.3 题图9-1 中(??,??)平面上的四结点四边形单元为矩形单元,位移插值函数如(9-16)所示

y

4

b

8

b

1

? ? (-1,-1)题 图 9-1

(-1,1)

1

(??)写出坐标变换公式与雅可比矩阵 [??],[??]?1和 det (??)。 (??)建立应变矩阵??的表达式。

解:(??)两种坐标系下的坐标系变换式: ??=∑4??=1????(??,??)???? ??=∑4??=1????(??,??)????

设1号结点的坐标为(??1,??1),则2(??1+2??,??1),3(??1+2??,??1), 4(??1,??1+2??) 则雅克比矩阵[??]为

?(1?η)(1?η)

44

[??]=[11

?(1?ξ)?(1+ξ)

4

4

1

1

1414

(1+η)?(1+η)(1+ξ)0] ??

414

1

(1?ξ)

]

??1??1+2??

×[??+2??

1??1??1??1??

]=[??1+2??0

??1+2??

1

所以 [??

]?1

=

1????

[

??

??

1];det(??)

=????

(??)应变矩阵为 [B]=[[B1][B2][B3][B4]] ????

其中[????]= 0

??????[????为了求

??????????

??????????

??????

0 ??????

???? ?????? ????]

??????????

??????????

,必须先求得

??????????????????????

??????????

??????????????????????????] ????????

=

??????????????????

+

??????

??????????

=

??????????????????

+

????????

??????????

??

????????

即 [????]=[????

????

????

????????

][] 记[??]??????????

????????

=[????

????

4

利用??=∑4 ??=1????(??,??)????和??=∑??=1????(??,??)????及????的表达式可以得到:

????????????????

??

=∑4??=1(1+??????)???? ;

??????????????????

4

=∑4??=1=∑4??=1

??

????4????4

(1+??????)???? (1+??????)????

]

??=∑4??=1(1+??????)???? ;

??

4

所以 [??]=[

??????????

??

∑4??=1(1+??????)????

??

∑4??=14

4

????

??

∑4??=1(1+??????)????

(1+??????)????

∑4??=14

4

????

(1+??????)????

??????????

??

故 [??????]=[??]?1[????]

????

1

????

??

∑4??=1(1+??????)????

??

4

[??]?1=||[??????

?∑4??=1(1+??????)????

4

??

??

??

?∑4??=1(1+??????)????

??

4

????∑4??=14(1

+??????)????

??4

]

??????44

|??|=[∑4??=1(1+??????)][∑??=1(1+??????)]?[∑??=1(1+??????)]

44

[∑4??=1而

??????????

????4

(1+??????)]

??????????

=

????4

(1+??????) ;

=

????4

(1+??????)

所以

????????????????????

=||{??∑4??=1??????=||{???

1

??????????

1????

????????4

(1+??????)?

4

??????????

∑4??=1

????????4

(1+??????)}

4

∑4??=1

????????

(1+??????)+

??????????

∑4??=1

????????

(1+??????)}

代入应变矩阵可得[????],进而可组集[??]。

9.5用式(9-71)所示 ????????????????插值多项式的形函数表达式,直接导出图(9-10)所示 ??=?1 边上的形函数??1, ??2和??5的表达式。 解:1,2,5三个结点的坐标为1(-1,-1),2(0,-1), 5(1,-1), 入式(9-71)得 ??(???0)(???1)1=(?1?0)(?1?1)

=1

2

??(???1)

??(???0)(???1)

2=(1?0)(1?(?1))=1

2

??(??+1)

??(??+1)(???1)5=

(0?(?1))(0?1)

=?(ξ2?1)=1?ξ2

9.6 用高斯求积公式计算下列定积分:

1

(a) ?x3dx

11

(x

3

y?y3x)dxdy

(b) ??00

解:(??)先确定积分和权系数:??+???????2

?

?????2

????,

2

????

利用两点高斯积分 F(r1)=F(1

?

2=(13

2?

F(r1

2)=F(1

2

+

=(2+3

H1

1=2

=H2

故∫13

??????=H1F(r1)+H2F(r2)

=1

2[(1

3

1

3

2?+(2+]=0.25 与精确解相同 (??)利用两点高斯积分:

∫1

∫1

00

(??3??+??3??)d??d??=∑2??=1????∑2??=1??????(????,????) 代

=

11

11

∑2??[??=1??2(2

?

y+2(2?y+2(2+y+

3

113

113

+y3] (223

=∑2??=1????[0.25y+0.5y]

3

=×0.25×(?

2

2

1

1

1

11+2×0.5×(2?+2×0.25×3111

(2++2×0.5×(2+ =0.25 与精确解相同

9.7用材料力学的梁理论计算图9-15中所示悬臂梁的梁端挠度????和??点的水平位移????,其中??=1000。

?=1,并做出弯矩图 解:在右截面加单位竖向力??

故????= =

1????

××10×10×10

2

1

12

1

1000×12

32

××10×10×10 3

2

1

=×=0.75 ????的求解: 先计算??点的应力: ????=

??????

=

10×1

×1×2312

=15

由于??点处于单轴应力状态 ????=???????=15×10?3

所以 ????=??????=10×15×10?3=0.15????

范文三:结构有限元分析]@]@]

@结构有限元分析计算书

班级:土木1110班

姓名:张爱武

课程:结构有限元分析

任课教师:李波

计算书

题目:大跨屋盖结构分析:横向长度30m,纵向长度90m,结构高度最大三米。

荷载条件:恒载1.5KN/m2;活载0.5KN/m2。

(1)有限元分析模型图及说明:

XZ平面图:

说明:采用轻型三角形钢架结构,首先建立轴网,编辑轴网x,y,z方向间距均为3m,x方向跨度30m,建立图1所示结构;坡度为i=1/5,两端采用固定支座,中间节点采用刚节点,无需释放。

截面尺寸的选择:对于上弦杆采用W12×190的H型钢,高度36.58cm,宽度32.26cm,翼缘厚度44.2mm,腹板厚度26.9mm。截面面积A=0.036m2。

对于下弦杆采用W14×109的H型钢,高度36.32cm,宽度37.08cm,翼缘厚度21.8mm,腹板厚度13.3mm。截面面积A=0.0206m2。

对于腹杆和纵梁杆件采用W14×90的H型钢,高度35.56cm,宽度36.83cm,翼缘厚度18mm,腹板厚度11.2mm。截面面积A=0.0171m2。

3D效果图:

(2)加载方式:

题目给定的是面均布荷载,换算成梁单元上的线均布荷载。间距3m,则中间梁单元荷载为:恒载3*1.5=4.5KN/m,活载3*0.5=1.5KN/m,两侧为恒载2.25KN/m,活载0.75KN/m。

首先定义恒载HENG,活载LIVE,指定上弦梁单元,施加框架的均布荷载。

(3)荷载组合适当选取几种荷载组合:

一.承载能力极限状态:(应力比小于1)

--------恒载控制组合:1.35恒载+0.98活载;

--------活载控制组合:1.20恒载+1.40活载;

二.正常使用极限状态:(挠度小于L/400)

---------1.00恒载+1.00活载;

(4)分析结果:

在荷载组合一下的挠曲变形图如下:

进行结构检查后得到应力比图示:

有分析结果可以看到应力比小于1满足条件。

在正常使用状态荷载组合3的作用下,分析结果如下:

变形图如下:

在正常使用状态荷载组合3的作用下,分析结果如下:

变形图如下:

弯矩图如下:

各部分挠度符合条件。

范文四:结构有限元分析

第七章

结构有限元分析

引 言

求解具体结构工程中的问题是有限元素法的最终目的,而实际工程结构是复杂多样的,要很好的运用有限元素法还得解决好像坐标变换、对称边界条件运用以及复杂结构连接等问题。本章即为解决有限元方法应用于工程结构中实际问题的算法。

一、杆系或梁系的刚度坐标变换

1、向量的坐标变换公式

i) 一维向量的平面分解

u?ucos??vsin?

?[cos?

?u?

sin?]??

?v?

?u???

cos?]?v?

?w???

ii) 一维向量的三维空间分解

u?[cos?cos? iii) 平面向量的坐标变换:????

?u??cos??v???sin?

sin???cos???v?

?u??l1

?????v??l2

m1m2

?u?n1???

?v? ?n2????w?

2、杆元局部系下刚阵与整体系下刚阵的变换 i)局部系下的单元平衡方程:

EA?1?1???ui????pi??

????? ??l??11???uj????pj??

x

K???p

由坐标变换(对节点力)

?pix??cos??p???iy??sin? ???

p?jx??0

???pjy???00?

T??0?p????i??? =>?P???cos???p??0?j?

?sin??

0?P T???

由局部坐标系下的平衡方程

??T

?P???

?00?

?K ?T?

??

由位移(节点)的坐标变换

ui??co?s

?ui?

sin????

?vi?

???co?s?ui??????uj???0?

s?in

00co?s

?ui?

???0?vi??? s?i?n??uj???vj??

?

????0

?0?

??? ???

代入{P}的表达式:

??T

?P???

?00??K?T?

?

??0??0????? ??

?P??[T]"[K][T]{?}

故 ?K??[T]"[K][T] 杆系举例:

1节点编号 ○

2单元编号 ○

3形成各单元的总体坐标系下刚阵 ○

4单元拼装 ○

5求解总体刚度方程 ○

3、平面梁元局部系下刚阵到整体系的坐标变换 i). 梁元局部系下的单元刚度平衡方程

0?EAl

?0l3?

6EI?0

l2

?0??l

?0?3l

?6EI

0?l2?

l2l

?6EIl22EIl

?EA00??i??xi?l

?????

0?l3l2

??i??yi???0?6lEI2?i????Mi??l

??????00??j??xj? l

6EI????yj?0?j

l3l2

?????6EI4EI

0?l2

l??j????Mj????

?K11

??K21

ii) 坐标变换

K12???i????Pi??

????? ?PK22???j????j??

?ui??cos(x,x)cos(x,y)0??ui?

??????v?cos(y,x)cos(y,y)0?i????vi? ????0???i?01i??????

??i????0???i??????? ????j???0????j?

T

??0???0???TK11??TK12???K11K12??K????K????T???? T

KK0?0??K??K?2122?????22???21

?

iii) 空间梁元有更复杂的变换关系

iv)其它单元的坐标变换

Homework: 列出平面弹性问题的刚度矩阵向三维空间的变换

i) 实际问题

ii)问题:一些节点在总体坐标系下,一些节点是在局部坐标系下,这类问题称为混合坐标架问题,即最终的刚度矩阵是一个混合标架下的形式。我们的任务是从总体系下的刚阵推导混合标架下的刚阵计算。

iii) 推导(以杆元或平面单元为例)

?

?K11

?K21

?u1??Px1???P?K12??v?1??y1?

?????,总体坐标系 ?K22??u2??Px2???v2????Py2??

?u1?T?u1?

?????? ?v1??v1

?

若单元节点1取为局部坐标系,即:

?u1??cos(x,x)cos(x,y)??u1??u1?

??????????

???

?v1??v1??cos(y,x)cos(y,y)??v1?

?u1?

?v??T?1???????u2??0??v2??

?u1?

??0??v1?

??? I??u2??v??2??Px1??P?T

?Px1?T?Px1??y1????????? ?????Px2??Py1??Px2??0

??Py2???x1?

??0??y1???P? I??x2???Py2??

?1??Px1?

???P?

?0?????y1???0??K11???????????KPP0I0Ix2x2??????21??????Py2???Py2????K11?T?T?K21?

?u1??1??????K12??v1???

?????P? K22??u2??x2?

?v????2??Py2?

K12???T

?K22???0

?u1?

??0??v1???? I??u2??v??2?

一般规律:

i

??

?...?~

K?i??Ki1

?...?

.........

Ki1?TKin?T

?Ki2

...

...?Kii?T

...??

...?Kin? ......??...

三、不同类型元素的结合和各种坐标变换矩阵

引:工程结构特别是飞行器、船舶等不可避免地要同时采用不同类型的元素,从而引起不同类型元素之间的位移协调性问题。为保证这种协调性,必须引入特殊的变换矩阵以实现之,实际情况繁多,难于一一举例,仅通过几个例子说明处理这类问题的方法。 1、桁架与刚架混合结构使用杆元与梁元(不同节点不同自由度)

?b?[ubvb]T

?a?[uava?za]T?c?[ucvc?zc]T

?K11?K?21?K31??K41

K12K22K32K42

K13K23K33K43

以杆元a- b为例,在组建总刚阵时,a- b杆的刚阵要适当变换以适应节点a的自由度,即:

?K11

K14?ua?K

?21K24?v?a??O

K34?ub???K31K44?vb

??K41

K12K22

OK32K42

O

K13

OK23OOO

K33OK43

K14?uaK24??vaO??az ?K34?ubK44??vb

改坐标变换可在组装时实现。

方法2:还可以利用子结构方法,将a、d两点的转角?za,?zd作为内部自由度,而刚架的出口刚阵不包括该自由度(即聚缩掉),因该自由度与邻近元素没有协调要求。

2、梁元素可能与平面应力板元素混合使用

梁元素的节点取在轴线a- b上,但是位移协调关系发生在角节点1-2-3- 4上,且前者含有转角自由度,?za,?zb,而后者仅含有平移自由度。 即:

??a

??1

?b???uava?zaubvb?zb?

T

T

T

T

?2?3?4???u1v1u2v2u3v3u4v4?

???

??b??T?3?

??4?

需要建立转换关系:(a点到1-2点;b点到3-4点;)

???

{?a}?T?1?

??2?

如图:

T可依据初等弯曲理论的基本假设来决定。

u2

?b?[ubvb]T

?a?[uava?za]T?c?[ucvc?zc]T

?K11?K?21?K31??K41

K12K22K32K42

K13K23K33K43

以杆元a- b为例,在组建总刚阵时,a- b杆的刚阵要适当变换以适应节点a的自由度,即:

?K11

K14?ua?K

?21K24?v?a??O

K34?ub???K31K44?vb

??K41

K12K22

OK32K42

O

K13

OK23OOO

K33OK43

K14?uaK24??vaO??az ?K34?ubK44??vb

改坐标变换可在组装时实现。

方法2:还可以利用子结构方法,将a、d两点的转角?za,?zd作为内部自由度,而刚架的出口刚阵不包括该自由度(即聚缩掉),因该自由度与邻近元素没有协调要求。

2、梁元素可能与平面应力板元素混合使用

梁元素的节点取在轴线a- b上,但是位移协调关系发生在角节点1-2-3- 4上,且前者含有转角自由度,?za,?zb,而后者仅含有平移自由度。 即:

??a

??1

?b???uava?zaubvb?zb?

T

T

T

T

?2?3?4???u1v1u2v2u3v3u4v4?

???

??b??T?3?

??4?

需要建立转换关系:(a点到1-2点;b点到3-4点;)

???

{?a}?T?1?

??2?

如图:

T可依据初等弯曲理论的基本假设来决定。

u2

va?v1?v2

va?

ua?(u2?u1)

1

?v1?v2? 2

h11

?u1?(h2u1?h1u2)h1?h2h1?h2

1

?za?(u2?u1)

h1?h2

?h1?h?h

2

?1

T??0

?

??1?

?h1?h2

?TT

则: ?K???

?0

0120

h1h1?h2

01h1?h2

?0??1?

?2?0??

0?

T3?4??

?T3?40?

K??0TT??

?

Note: 上述变换,仅作了节点位移协调,而不能保证元素边界上各点的位移协调性。实际当中,很难保证它们的相容性,不得不放松要求,仅保证节点上位移一致,相应地产生一定程度上的误差。这样做,仍可保证一定的工程精度。

作业:推导该梁元与平面应力元位移协调的刚阵形式。

用1、2u1 e

ua

??"????1?2?

由初等弯曲理论:

T

??i???uivi?zi?

T

i?1,2

??10?e???

?za??z1???a?T?1T??010??

??ua?u1??z1e??001??

同理:?b?T?2

va?v1

??????

T0?T

???"?????K??T? K"?T?

?0T?

四、约束不足和附加约束

这种问题的发生一般在工程结构上,例如如下结构,杆元14,42在y’局部坐标系下计算没有任何问题,此时的总刚平衡方程中,对应的 节点位移仅有y’方向三个节点的位移。但放在总体 系下,或在x’y’系下计算时,总刚平衡方程中,在 一个节点上有两个位移自由度,而结构本身是不能 提供4节点x’方向的位移约束。从计算总平衡方程看, 总刚阵此时是奇异的(因为缺少约束条件),因从平 衡观点来看,当节点4上作用有x’方向的外力时, 结构内不可能产生内力与之平衡;换句话说,结构

内产生的内力值为无穷大,反过来说,若要节点4沿x’方向发生位移,无需施加任何外力(几何可变(瞬时)结构)。

再如空间平面应力元素组成的薄壁结构,节点a与上面所描述的道理一致,同属于约束不定的问题。

这类问题在总刚矩阵中一般有两类表现:

1 如所述杆系问题,当坐标系取为x’y’时, ○

单元14和42在4节点x’方向对应的刚阵元 素(行和列)为零,从而,总刚矩阵奇异;

2当坐标系取为xy时,节点4在xy方向 ○

对应的刚阵元素线性相关,同样,总刚矩阵奇异。 处理方法:

1在这类特殊节点处,采用节点坐标系,并将不定的那个自由度抛去不计,这样做,○

在刚阵中导致奇异的那些行(列)就不再出现了。

这种做法的缺点是,使各节点的自由度数不等,坐标轴不统一,因而,程序设计上使工作复杂化。

2将包含该类点的单元作为子结构,用聚缩的办法将特殊点消去。 ○

3既然这种特殊的位移是不定的,我们不妨人为的规定它取某种数值,把它作为预定○

边界位移来对待。所规定的位移值,应当满足小位移假设,倘若在特殊节点处采用节点坐标系,显然可令:

ux"?0

这种处理对程序设计没有任何特殊要求,仅增加预定边界位移的数目,所以最为方便。

其它情况:

1还有一类节点,几何上接近于上述那些节点,如上两图中虚线的位置,与特殊节点○

邻接的诸元素虽然不共线(面),但几乎共线(面)。所以,在x’方向的刚度虽然不是0,但

接近0。对于这类结构,我们可想而知其刚度矩阵是接近奇异的。该阵对计算误差是极其敏感的,换句话说,原始数据有微小改动,或计算步骤的微小变化,都可能导致计算结果的重大变化。这就是所谓的“病态”问题。病态矩阵的计算结果是靠不住的,一定要避免。凡遇有上述结构,均应按约束不足来处理。 2另一方面,又会遇到附加的约束条件, ○如右图三根梁交汇处,有刚性很大的 镶板加固,故每个梁元素端有一小段

近似绝对刚性。这种元素的刚阵,应

作一定的变换,以体现刚硬端的约束

作用。

首先,按a-b梁元建立该元素的刚度方程,其节点位移在a点,为:

?a??ua"va"?za?T

T

v1"?z1?

取1-c-a-d部分为绝对刚硬,则?a与?1??u1"间存在刚性约束关系,该约束为:

?za??z1

??u1???z1esin?

?a?T?1 ua

??v1???z1ecos?va

?10?esin??

?

T??01ecos???

?1??00?

即在进入刚阵组装时,通过上式可消去?a,使得梁元a-b的节点位移在a点与节点

1联系起来。

3再如右图结构,可能出现在飞行器结构中, ○

表示一段支持于机身上的机翼。在它的右端, 有一段刚度很大的构造,在分析时,最好看 作是绝对刚硬的,这一段结构将在诸节点1, 2,3,4,5,…之间建立一组约束条件,这 些节点的位移都应当能用刚硬段的6个刚体

位移来表示,即:

?i?Ti?uava

wa?xa?ya?za

?

T

i?1,2

,3,...

4如右图平面刚架结构,也可以引进附加约束问题, ○

他的元素刚阵矩阵一般都有这样的特点:与轴向拉 压变形有关的刚度系数,远远大于与弯曲刚度有关 的刚度系数。经验表明:当刚阵元素数值相差悬殊 时,极易出现病态,为了避免这种情况,可以引进 近似假设,即认为元素的拉压刚度是无穷大,对应 的附加约束条件:

v2?v1v3?v4u2?u3

这种情况,可在刚阵组合时直接处理,而不必引入变

换矩阵。即在总刚方程中仅取相关约束中位移的那一半,各矩 阵投放时,对应的刚度系数相加即可。如:总刚

u11

u12

?z1u

.....

???????????????????????u1????????????????

?

????????

?????????

?????????

?????????

?????????

?????????

?????????

???u1??Px1??v??P?????1,2??y1,2?????z1??Mz1?

?????

???u2,3??.?????????z2???.? ?

???v3,4??.?????????z3??.?????????u4??.??????.????z4???

1-2元刚阵:

v1?z1??????

??????

u2??????

v2?z2??????

??u1

???v1???z1 ???u2??v2?????z2

5用Lagrange乘子法处理约束条件 ○

约束条件式可以象我们上述问题那样,通过矩阵变换或组装时的取换来处理,这样在计算时就不再理会此类问题;另一种处理办法,可以放在计算总刚时,再考虑这些约束条件,注意,我们以上研究的约束(矩阵变换)全是线性的,一般可写成:

C11U1?C12U2?C13U3???A1C21U1?C22U2?C23U3???A2???C??A

C一般是稀疏的

约束的意义表明基本位移向量中的各分量不全是独立的了。在用最小位能原理推导结构总刚度方程时,必须把无约束的极值问题改为有约束的极值问题。带约束的泛函极值问题,可以通过Lagrange乘子法,转化为无约束的极值问题,即:

1

?*??TK???T(C??A)??TP

2

求 ??*?0

?K??CT??P

,联立解之,即可求得?,?。

?

?C??A

范文五:结构有限元发展

一、 结构有限元发展情况:

“有限单元法”这一名称是克拉夫(Clough)在1960年首先引用的。它是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它虽然是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用过的一种有效的数值分析方法,但是,由于它所依据理论的普遍性,已经能够成功地用来求解其它工程领域中的许多问题[1]。随后很快广泛的应用于求应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场等连续性问题。涉及了很多的工程学科,如机械设计、声学、电磁学、岩土力学、流体力学等。在机械工程领域,有限元被广泛的应用于机构、振动和传热问题上。

1. 有限元的发展趋势

纵观当今国际上有限元软件的发展情况,可看出有限元软件的一些发展趋势:与CAD软件的无缝集成;更为强大的网格处理能力;由求解线性问题发展到求解非线性问题;由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解;程序面向用户开放性等。

2. 有限元分析的三个阶段

前处理阶段:将整体结构或其一部分简化为理想的数学力学模型,用离散化的单元代替连续实体结构或求解区域;主要包括:定义分析的类型、添加材料属性、添加载荷和约束、网格的划分等??

分析求解阶段:运用有限元法对结构离散模型进行分析计算,这个过程是由计算机来完成的。

后处理阶段:对计算结果进行分析、整理和归纳。

3. 有限元分析的七个步骤

1、结构力学模型的简化

从实际的问题中抽象出力学模型,对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷条件进行简化。抽象简化出来的力学模型应该能尽可能的反映真实的实际问题,合理的模型既能保证计算结构的精度,又不会带来结构上的过分复杂(模型的建立在有限元分析的过程中是一个比较重要的阶段)。

2、结构的离散化

所谓结构的离散化就是将连续的结构体划分为有限个单元体以代替原来的结构。这个过程也就是网格的划分,网格划分是建立有限元模型的中心工作,模型的合理性很大程度上可以通过所划分的网格形式反映出来。

3、位移模式的选择

为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力,在分析时就要对单元体位移的分布进行一定的假设,假设位移是坐标的某种简单函数,这个函数就是位移模式或者位移函数。

一般情况下选择多项式作为位移模式,因为所有的光滑函数的局部都可以用多项式逼近。

4、分析单元的力学特性

单元特性的分析包括以下三部分的内容:

(1)利用几何方程,用位移模式导出用节点位移表示单元应变的关系式。

(2)利用物理方程,由应变表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式。

(3)利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式,也就是单元的刚度方程。

5、计算等效节点力

弹性体经过离散后,假定力是通过节点在单元体之间进行传递的。但是,实际的连续体,力是通过单元的公共边界进行传递的。因此,作用在单元上的各种力就需要等效移植到节点上去,也就是用等效的节点力来代替单元上的力。移植的方法是按照虚功等效原则进行的。

6、集合所有单元的刚度方程,建立这个结构的平衡方程

这个过程包括两个方面的内容:一是由各个单元的刚度矩阵集合成整个物体的整体刚度矩阵;二是将作用于各单元的等效节点力列阵合成总的载荷列阵。集合所依据的原则是要求相邻的单元在公共节点处的位移相等。

7、求解未知节点的位移和计算单元应力

由集合起来的平衡方程组,解出未知位移。在线弹性平衡问题中,可以根据方程组的具体特点选择合适的计算方法。对于非线性问题,则通过一系列的步骤,并逐步修正刚度矩阵或载荷矩阵,才能获得解答。最后,利用物理方程和求出的节点位移,计算各单元的应力,并加以整理得出所要的结果。

4. 用户使用情况

大部分研究所已经具有ansys、nastran结构有限元分析软件,但随着对产品性能要求的提高非线性分析慢慢被各个研究所重视起来,很多单位开始对产品的设计进行非线性分析来增加可靠度。

723、706、705、719等研究所

二、 热分析发展情况:

目前,越来越多的CFD热分析软件逐渐面世,在我们工程设计中起着一定的作用,然而,在诸多的传统CFD热分析软件中,存在着以下几个方面的问题:

1)这些CFD热分析软件往往是给分析专家使用的,需要很高深的CFD热分析专业背景和工程经验;

2)从开始学习到能做出一定水平的分析,往往需要经历至少半年,甚至一年以上的时间;

3)CAD接口差,难于直接利用已有的CAD本体模型划分网格,往往需要大量的修补工作,甚至往往需要在该CFD热分析自带的前处理工具中进行建模;

4)分析周期长,难以进行设计阶段的方案选型,而往往应用在方案确定后的验证阶段;

5)分析结果难于在产品开发团队间发布和共享。

随着技术发展,热分析能够提供一个前端CFD热分析解决方案,易学易用,使得CFD热分析成为产品成为开发设计流程中的一个环节。

以后热分析的发展趋势是:

1) 让CFD融入产品设计的主流程,成为产品设计“前端”的工具,而不是仅由少数CFD热分析专家独享的高深莫测的“象牙塔”,降低CFD热分析应用门槛,从而消除传统CFD热分析软件难用、速度慢、对人员要求高的瓶颈。

2) 让产品、设计工程师的MCAD环境成为对产品、设计进行CFD热分析的环境,将对设计评估和优选工作放在整个设计过程的“前端”,从而最大限度的利用工程师已有的软、硬件装备和知识结构进行产品设计、研发,将成本控制在最低水平。

国内主要研究所客户:

706、705、719等研究所使用FloTHERM、CFDesign、ICEPARK等分析软件

三、 CAE技术难点与重点

随着CAD、CAE行业的不断发展,计算仿真模拟在产品研发的整个过程中的应用越来越广泛,各种商用及自编设计分析工具已经成为产品研发过程中不可替代的工具手段。仿真设计工具的广泛应用,使得在产品研发的全过程中,产生大量不同类型的数据信息,这些数据信息既包括方案本身的设计流程、几何模型、性能参数,计算模拟过程的网格划分、求解设定、结果报告等,又包括设计过程中所需要使用到的诸如工程材料理化特性、不同模型间的相互关系等信息数据,还包括试验、优化等手段获得的参考数据。在当前的工程实际中,这些产品研发的相关数据信息具有以下特点:

1) 数据以不同的形式分散保存于企业的PDM、TDM等系统、相关的专用数据库、

文件服务器、计算服务器以及设计人员工作用的计算机等不同的环境中,完

整获取设计相关的数据非常困难;

2) 由于工作模式和各仿真分析工具软件的本身限制,各个数据文件的格式各异,

内容结构也大不相同,准确获知数据文件所包含的设计信息非常困难;

3) 产品的研发过程伴随着大量的计算仿真分析工作,整个研发过程所涉及的数

据文件无论从文件的数量还是从文件所包含的信息量都非常大,从海量的数

据中快速检索出有效的信息,难度也很大。

在不改变产品研发的现有工作模式和数据存储方式的前提下,如何更好的对产品研发过程中所产生的数据文件以及文件中所包含的海量信息进行有效的管理,是当前设计工作中所面临的一个重要问题。工程仿真数据管理系统通过高效的数据检索机制,可以快速的从大量分散的数据信息中提取有效信息用于设计工作,从而解决了产品研发过程中数据信息过于分散,缺乏有效的管理和维护的问题。

结构虚拟样机系统遵循以下技术路线:

1) 结构虚拟样机系统具有界面统一的设计环境,能够覆盖参数设计、方案构建、

性能分析到方案优化的雷达结构仿真设计过程,并集成相关的商业软件和工

程算法。

2) 结构虚拟样机系统的设计思想、功能、使用习惯源于设计人员的真正的需求,

提供专业化的图形用户界面。用户界面与设计人员专业设计习惯一致,界面

参数采用设计人员所熟悉的、具有直接工程意义的设计参数。大部分数据流

处理在后台工作,减少了大量的低层次的重复性工作,通过工程化和设计型

的系统界面屏蔽了各种软件千变万化的使用风格、使用方法和使用技巧。

3) 结构虚拟样机系统通过统一关联模型使设计方案和模型具有内在、自动的关

联性,各个专业模型的改动能自动激发相关模型或衍生模型的自动变更,从

而大大提高设计循环的过程效率和专业协调效率,能够保证项目团队的数据

和模型的协同。

4) 结构虚拟样机系统可以固化规范的产品研发过程,高效有序地自动推进项目

的多人协同设计工作。

5) 结构虚拟样机系统可快速有效的封装和固化工具、知识和经验,并进行管理

和重复利用。也因此使得系统具有高度的扩展性和持续发展能力,能够适应

设计手段的发展和设计理念的变化,能够支持新程序和工具不断接入系统的

需求。

车载雷达总体方针系统的实施架构如下图所示

;

结构虚拟样机系统的关键技术和解决途径如下所述:

1) 一体化的工作环境

系统具有统一的工作环境,设计分析人员够获取设计信息与输入、利用所需资源、驱动设计工具,完成整个设计分析工作。在该环境中,可以实现产品设计、计算求解、前后处理、报告生成等所有工作。所有的设计结果与内容都自动存储在底层数据管理系统中,可以非常便利地实现检入、检出、查询、重用等操作。

系统采用框架软件--易集系统将所有的设计分析仿真工具进行不同层次的集成,无论是对仿真工具深度封装之后的工作界面,还是直接驱动仿真工具其本身的界面都能在框架体系中呈现,并且对相应的结果文件进行统一的调度管理。

2) 对仿真工具的集成

系统涉及到多个设计仿真工具,为了方便使用者利用各种工具进行工作,同时避免模型、数据转换带来的问题,系统将这些仿真工具集成到统一的设计环境中,设计分析工作面向统一界面环境,不需要针对不同工具进行切换。

对仿真工具的集成分为封装和驱动式调用两个层次,封装是在对使用者工作需求做深入了解的基础上,通过编程,定制专门的工作界面,通过相关仿真工具的脚本或者API的调用,使之在后台进行相应的工作;驱动式调用则直接在框架软件中,根据工作需要,直接调用和打开相关的仿真工具,使用者在软件自身的界面上进行工作。

3) 工作模板的定制

模板定制工作既实现了应用软件的封装同时也实现了知识工程,是现代集成系统的一个最基本技术。模板定制的本质是规则和知识的固化。

在模板开发环境中,首先定义出功能模板的标准输入输出文件或者脚本驱动文件中的输入输出数据以及人机交互数据,然后设计功能模板的工作人机交互界面,并建立界面数据和人机交互数据的关系,同时将输入输出数据定义为接口数据,再定义模块工作的执行软件和运行机制,最终形成一个功能相对独立的模板。

4) 统一关联模型

系统通过统一关联模型使设计方案和模型具有内在、自动的关联性,从而能够最大限度的能够保证项目团队的数据和模型的协同。

系统对各个模板所产生的数据进行统一的管理,数据库中的相关数据根据被使用的情况进行锁定,通过对数据检入、检出的有效管理,保证同一个数据源不会被不同的使用者同时进行修改。

5) 数据安全模型

针对系统使用的需要,系统的数据的安全性是需要考虑的一个非常重要的因素。 系统严格按照三员管理的要求对系统进行管理,同时,对系统内部的数据,根据相应的角色赋予权限进行管理。系统对角色、权限、人员、组灵活的定义,权限赋给角色,角色赋人员,把人员的权限灵活控制,系统中任何一个节点都可以设置权限,以达到对整个系统的安全管理。角色、权限、人员、组对应权限相应的对应的节点关系如图:

说明:

系统提供了对数据项的基本的增删改查等具体的权限项(Right),然后对系统中基本的基本权限进行组合,形成了Role Definition,就是角色。然后可以基于(scope)对角色进行分配,这里的SCOPE指的是:系统中的结点,如项目结点,方案结点,以及流程结点等。



范文六:汽车结构有限元分析02_有限元基础理论

第二讲

有限元基础理论

及平面问题有限元方法

讲述以下问题-----1.有限元与力学关系 2.回顾---材料力学研究对象与研究方法 3.强度问题 、刚度问题、稳定性问题 4.点的应力状态---空间问题 5.广义Hooke定律 6.弹性力学的基本方程 7.弹性力学问题分类 8.三大方程、三类问题、三种解法 9.平面问题 10.平面问题的有限元方法

1.有限元与力学关系

9 弹性力学与理论力学区别:理论力学研究对象是质点、质

点系与刚体(质点系力学与刚体力学)。

9 材料力学与弹性力学研究变形体。 9 力学分支众多:材料力学、结构力学、弹性力学、板壳力

学、塑性力学、断裂力学、损伤力学、复合材料力学、结 构稳定性理论、振动理论、流体力学、结构动力学等; 有限元方法是以力学理论为基础,是一种现代数值计算方 法,是一种解决工程实际问题的数值计算工具,是现代设 计与分析方法的支柱!

2.回顾----材料力学研究对象与研究方法

研究各种工程结构:常见的如下结构元件(构件): (1)杆、杆系、梁、柱,(长>>宽和高)--材料力学 (2)板(中厚板)、壳,(厚<<长与宽)---扳壳力学 (3)三维体,---弹性力学

截面法是处理固体力学问题的最基本的方法: 通过外力(作用力和约束力)与内力(应力)平衡求构件的响 应, 通过本构(物理)关系求变形(位移与应变), 最重要的是材料力学中的平截面法,其中尤以梁的平截面假设最 为重要。-----简化计算!

平截面假设 初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于 轴线, 并且在垂直轴线方向上无变形; 梁的基本方程:

M d 2w = 2 EI dx

d 2w dx

2

M y σ= I

Q h2 2 τ = ( ? ya ) 2I 4

2

?

1

ρ

σ max =

6M bh

τ max

3Q = 2bh

τ max

σ max

弹性力学研究对象与任务

研究弹性固体在载荷作用下的力学行为(主要包括A(x,y,z)点的位移、应 变和应力等)。

基本假设 1) 连续性 2) 匀质性 3) 各向同性 4) 小变形 5) 线弹性

3.研究工程结构在使用状态下的安 全性、可靠性、使用性等,实现 结构的功能与性能。 强度问题(应力值不超过许用 值) ; 刚度问题(变形不太大); 稳定性问题(不失稳); 振动问题(量值在限制范围); 碰撞问题(安全生存空间); ……

4 .点的应力状态---空间问题

σz τ zy τ zx τ yx τ xz τ yz σx

z

τ yz τ yx τ zx σy

τ xy

y

x

弹性问题 应力只取决于应变状态,与达到该状态的过程无关。 九个应力分量,九个应变分量(独立变量各六个)。 单元体研究方法。

? ?ε x ? ?1 γ ? 2 yx ? ?1 γ zx ? 2 ? 1 γ xy 2 εy 1 γ zy 2 1 ? γ xz ? 2 ? 1 γ yz ? ? 2 ? εz ? ? ?

?σ x τ xy τ xz ? ? ? ? τ yx

σ y τ yz ? ? ? τ τ σ z ? ? zx zy

?

6.弹性力学的基本方程---三大方程 ? 平衡方程

?σ x ?τ yx ?τ zx +X =0 + + ?z ?x ?y

? 几何方程

?u εx = ?x

γ xy =

γ yz =

?u ?v + ?y ?x

?v ?w + ?z ?y

?τ xy ?σ y ?τ zy + + +Y = 0 ?x ?y ?z

εy =

?v ?y

?τ xz ?τ yz ?σ z + + +Z =0 ?x ?y ?z

?w εz = ?z

?w ?u γ zx = + ?x ?z

物理方程 σx=2Gεx +λθ τxy = Gγxy σy=2Gεy +λθ σz=2Gεz +λθ τyz = Gγyz τzx = Gγzx

6.弹性力学的基本方程---三大方程

? ? 1 ? ? μ ?1 ? μ ?σ x ? ? ?σ ? ? μ ? y? ? ?σ z ? ? E (1 ? μ ) ?1 ? μ ? ? ?= ? τ μ μ + ? (1 )(1 2 ) xy ? ? ? 0 ?τ yz ? ? ? ? ? τ ? zx ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?

μ

1? μ 1

μ

1? μ

0 0 0 1 ? 2μ 2(1 ? μ ) 0 0

0 0 0 0 1 ? 2μ 2(1 ? μ ) 0

μ

1? μ 1 0 0 0

μ

1? μ 0 0 0

? ? ? ? 0 ? ?ε ? ?? x ? ? ε 0 ?? y ? ? εz ? ? ?? ?? ? γ 0 ? ? xy ? ? ?γ yz ? ?? ? ?γ zx ? ? 0 ?? ? ? 1 ? 2μ ? 2(1 ? μ ) ? ? 0

{σ }6×1 = [ D]{ε }

[D]称为弹性矩阵,它由弹性常数E和μ确定。

5.各向同性弹性体

广义Hooke定律

σ x ν (σ y + σ z ) εx = ? E E

γ xy

2(1 + ν ) = τ xy E

2(1 + ν ) = τ yz E

2(1 + ν ) τ zx E

σ z ν (σ x + σ y ) εz = ? E E

ν (σ z + σ x ) εy = ? E E σy

γ yz

γ zx =

弹性力学有15个基本方程: 3个平衡方程; 6个几何方程; 6个本构方程; 15个基本未知量: 3个位移分量; 6个应力分量; 6个应变分量; * 加适当边界条件。

弹性力学问题——偏微分方程的边值问题 弹性力学方法只能对非常简单的几何形 状、边界条件及载荷得到解答(解析解或 半解析解)。对于复杂几何形状、边界条 件及载荷的固体,弹性力学无法求解。

弹性力学问题解法---三种解法(位移法、应力法、混合法)

应力

变形(位移与应变) ? 变形协调方程(或位移单值连续) ? 位移边界条件

? 平衡微分方程 ? 静力边界条件

物理方程

以位移作为未知数

位移解法

几何方程求应变 物理方程求应力

联立求解

弹性力学问题分类---三类边界问题

Sσ(X,Y,Z)

静力边界问题 位移边界问题 混合边界问题

Su

(X,Y,Z)

由位移表示的平衡微分方程

G? 2 u + ( λ + G ) ?θ +X =0 ?x ?θ G? 2 v + (λ + G ) + Y = 0 ?y ?θ G? 2 w + ( λ + G ) + Z = 0 ?z

其中

?2 ?2 ?2 ? = 2+ 2+ 2 ?x ?y ?z

2

是Laplace算子

静力边界条件使用位移表示 位移边界条件

9. 平面问题

z

平面应变

? ?

物体是一柱体,轴向方向很长 所有外力(体积力和面力)都平行 于横截面作用,且沿轴线大小不变

y

x

平面应力

x

?沿z方向的厚度t均匀且很小 ?所有外力

均作用在板的周边和板内,

t/2

t/2 z

平行于板面作用,且沿厚度不变

y

y

? 平面应力特点

(1)位移

u=u(x,y) v=v(x,y) w ≠0

(2)应力 在面外: 在面内: (3)应变

σz=τzx =τzy =0 σx、σy、τxy ≠0 εz=……?

γxz=γyz=0

? 平面应力特点

平衡方程 几何方程 物理方程

?σ x ?τ yx + + X =0 ?x ?y

?τ xy ?x

+

?σ y ?y

+Y = 0

?u εx = ?x

εy =

?v ?y

0

γ xy =

?u ?v + ?y ?x

? ?σ x ? ?1 μ ? ? E ? μ 1 ?σ y ? = 2 ? 1 ? μ ? ? ? τ xy ? ? ?0 0 ?

0 1? μ 2

? ? ?ε x ? ?? ? ? ?ε y ? ? ?γ ? ? ? xy ? ?

? 平面应变特点

(1)位移

u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0

(2)应变 平面内, εx、εy、γxy ≠0,均为x、y的函数; 平面外,εz=γxz=γyz =0; (3)应力

τ zx = τ zy = 0

σz=……?

? 平面应变特点

(1)平衡方程

? ?σ x ?τ xy + +X =0 ? ?y ? ?x ? ? ?τ xy + ?σ y + Y = 0 ? ?y ? ?x

(2)几何方程

?? ? 0 ? ? ?ε x ? ? ?x ? ? ? ? ? ? ?u ? ?ε y ? = ?0 ? ?v ? y ? ? ? ? ? ? ? γ ? xy ? ? ? ? ? ? ? y x ? ? ? ?

? 平面应变特点

(3)物理方程

{σ } = [ D ]{ε }

? μ 1 ? 1? μ ? E (1 ? μ ) ? μ 1 其中 [ D] = ? (1 + μ )(1 ? 2 μ ) ?1 ? μ ? 0 ?0 ?

事实上,将平面应力问题物理方程中的 E 改为

0 0 1 ? 2μ 2(1 ? μ )

? ? ? ? ? ? ? ? ?

E μ μ , 改为 1? μ 2 1? μ

9. 平面问题

1)仅为(x, y)的函数; 2)平衡方程、几何方程完全相同,物理方程形式相同; 3)求解方法完全相同。 ----------通称弹性力学平面问题(二维固体问题)。

q l

平面应力

平面应变

l → +∞

l → 0+

q

q l l

10. 平面问题的有限元法

有 限 元 ? 把整个求解区域分成许多个有限小区域,这些小区域称之为单元。 方 法 ? 在每个单元上构造近似位移函数,即进行所谓的分片插值。 概 ? 在每一个单元上求势能。 念

? 将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。 ? 最后应用最小势能原理求解单元节点位移。

? 用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于求解偏微分方程 的复杂性,而有限元方法则将原来连续的弹性体离散化,其中最简 单的就是采用三角形单元对弹性体进行划分。

有限元模型

有限元网格划分

载荷处理——等效节点载荷

边界约束条件处理

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

作业

试证明:

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体

分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题2

例题2

例题2

例题2

例题2

作业

边界约束条件的处理

(1) 零位移约束

边界约束条件的处理

边界约束条件的处理

边界约束条件的处理

(2) 非零位移约束

结构刚度方程的求解

结构刚度方程的求解

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

计算结果的整理

计算结果的整理

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元位移模式

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元应变和应力

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元刚度方程

平面六结点三角形单元

平面六结点三角形单元

平面八结点矩形单元

平面八结点矩形单元



范文七:结构有限元分析法

有限元分析方法

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桂满树

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顺序

板单元/实体单元的特点及正确使用方法 通过例题说明各种建模方法

建立板单元网格的方法 使用扩展功能建立实体单元的方法 实际模型例题

实际工程中细部精密分析的方法

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板单元的特点 (1)

h/L

1/10 ≈

实体单元 厚板 薄板 平面应力

h L

Degeneration

平面应力 σzz = τxz = τyz = 0 薄板 (Kirchhoff Plate) 忽略剪切变形的影响 → 1-D: Euler-Bernoulli Beam 厚板 (Mindlin Plate) 考虑剪切变形的影响 → 1-D: Timoshenko Beam 大部分情况可选用厚板(误差不到 2%), 非常薄的板应使用薄板 → 防止Shear Locking

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板单元的特点 (2)

In-plane Behavior (Membrane/Stretching)

Plane Stress

Out-of-plane Behavior (Bending)

+

Plate Bending

Tz Rx Ry

(+)

=

Top

Plate

Tz Rx Tx T y Ry

σm+σb σm σm-σb

z x y

Tx

Ty

+

(-) Membrane Stress (σm) Bending Stress (σb)

=

Middle

Bottom

板单元没有面内旋转(In-plane Rotation)自由度-五个自由度/每个节点 由厚度来体现面内和面外的刚度 挠度比板单元厚度薄的时候, 可忽略面内变形

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MIDAS的板单元

平面内特性 - 三角形: LST (Linear Strain Triangle) - 四角形: Plane Stress Formulation with Incompatible Modes 平面外特性 薄板 - DKT/DKQ (Discrete Kirchhoff Tria./Quad.) - DKQ: Taylor & Simo 公式修正 - 不考虑剪切变形 厚板 - DKMT/DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Tria./Quad.) - 考虑剪切变形 四角形单元可考虑翘曲(Warping),即使不在同一平面上也可得到较 为理想的结果。

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单元的形状 (1)

Valence (λ) 评价单元形状最重要的因子 共享同一节点的单元个数 → 各单元平均分割角度为

360

λ

λ=3 (120°)

λ=4 (90°)

λ=5 (72°)

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单元的形状 (2)

以Valence (λ)为标准改善单元网格的方法(Topological Improvement) 将节点的Valence尽量设为4 Valence大于4时,减少连接的单元, 小于4时可增加单元

λ=3 λ=3 Element Elimination λ=4

λ=5 λ=3 λ=3 Diagonal Swapping

λ=4 λ=4

λ=4

λ=5 λ=3

λ=3 Diagonal Swapping

λ=4 λ=4 λ=4

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单元的形状 (3)

尽量使用尺寸小而规则的(正四边形/正三角形)单元 紧凑且规则 四边形(六面体)单元要比三角形(锥体-四面体)单元要好 三角形单元: 应变为常量, 四角形单元: 应变为线性变化 一般地说,用三角形/四面体/低阶单元计算的位移/应力值要比四角形/ 六面体/高阶单元的结果要小一些(Stiffer Elements). 四边形单元必须为凸(Convex)四边形 单元越凹,刚度越低 使用形状不好的四角形单元不如使用三角形单元 在动力分析/屈曲分析中可能诱发局部模态 除了线性静力分析之外,如果有形状不好的

四边形单元,即使全部使 用了四边形单元,也不如使用形状较好的三角形单元和四边形单元的 混合单元。

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单元的形状评价 (1)

形状比-Aspect Ratio (In-plane Offset)

? ?

长边与短边距离的比值 评价应力为主时不要超过1/3,评价位移为主目的时不要超过1/5 → 非线性分析时,形状比的作用比非线性分析时更敏感

min(h1 , h 2 ) Λ= max(h1 , h 2 )

h2 h1

Λ=

3 h2 ? 2 h1

h1

h2

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单元的形状评价 (2)

倾斜角 (In-plane Offset) ? 表示单元偏离直角四边形的程度(Angular Deviation)。 ? 不要超过45°,四边形单元的所有内角应在45~135° 之间。

α

α

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单元的形状评价 (3)

锥度-Taper (In-plane Offset) ? 用几何偏离(Geometric Deviation)表示四边形单元的变形程度. (只使 用于四边形单元)

A3 A4 A1 A2

?=

4 × min(A i ) ∑ Ai

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单元的形状评价 (4)

翘曲-Warpage (Out-of-plane Offset) ? 四边形单元的四个节点偏离同一平面的程度(只使用于四边形单元)

? ?

尤其要注意在两个曲面相连的位置的四边形单元 翘曲比较明显的四边形单元应使用两个三角形单元来替换

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单元网格的密度 (1)

几何形状、刚度(材料/厚度)以及荷载有变化的位置、应力集中位置应细 分网格。 相邻单元的尺寸不要相差过大 要正确模拟模型的几何形状(曲率等)。 边界之间最好要不少于两个单元 分析后检查下列各项,误差较大的位置要细分 ? 单元应力的连续性 比较相邻单元的应力值的差值 ? 应力偏差(Stress Deviation) 节点上的单元节点应力和节点平均应力的差值的较大值 当以上差值与其中的最大应力的比值较大时,需要将该位置重新细 分

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单元网格的密度 (2)

将当前网格重新细分后,在不同尺寸的单元之间做过渡单元时,将四边 形单元细分为三个单元要比细分为两个单元要好一些。

2-Refinement (使用三角形单元做 连接)

2-Refinement (使用四边形单元做 连接)

3-Refinement (使用四边形单元做 连接)

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单元网格的密度 (3)

用单元数量粗略计算单元尺寸

决定使用单元的数量 使用下列公式粗略计算单元尺寸 · 二维网格的尺寸 = (粗略的总面积 / 单元数量)1/2 · 三维网格的尺寸 = (粗略的总体积 / 单元数量)1/3 当分区域采用不同密度时,可分区域使用上面的公式 虽然是粗算,最好也要遵守前面所说的事项 · 正确模拟结构的几何形状 · 边界之间最好至少有两个单元

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动力分析模型

特征值分析(自振周期)时,因为复杂的板单元、实体块单元容易诱发局 部振动模态,所以使用等效的梁单元会效果更好一些

。 特征值分析时,越高的模态的误差越大 特征值分析时,适当的网格划分应为相应模态每个周期长度内使用 10~20个节点

该模态形状为两个周期长度, 所以划分为20~40个节点较为合适

悬臂梁的第5个模态

特征值分析时不要只检查一个模态,应检查多个模态,从而判断结果 的正确性 做动力分析/屈曲分析后检查结果时,首先要查看特征值分析结果。. 板单元一定要查看是否存在局部模态

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单元的连接

不同类型的单元连接时,要注意自由度的耦合 板单元 因为板单元没有绕单元坐标系z轴的旋转自由度(Drilling DOF), 所以当梁与板的连 接如果诱发板单元绕单元z轴的旋转的话,连接位置在某个方向将成为铰接。 实体单元 因为实体单元没有旋转自由度,所以与板单元相连时有可能在某个方向成为铰。 Torque Beam Beam Solid

Plate

Plate Plane Stress

Plate Rigid Plate

Rigid Beam

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刚性连接

刚性连接(Rigid Link; Kinematic Coupling)的功能是在不太重要的位置上 将结构连接起来(相对运动),并传递荷载。 使用刚性连接时, 在连接位置在某一方向上位移不是连续的(相同),应 力分布也不是很圆滑 从属节点本应该依靠外部荷载而产生位移, 但因为被设置为从属于 主节点,所以不能产生与相邻节点的正常位移 → 位移不连续 应力的不连续发生在距连接位置单位特性长度(一般为厚度或高度尺 寸)的局部范围内, 该范围内的应力不可信 刚性连接应尽量使用于距重要位置2~3倍长度范围以外 在受扭(Torsion)位置最好不要使用刚性连接。因为刚性连接约束了截面 的翘曲(Warping),所以会夸大结构的抗扭刚度 → 管型

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对称条件

对称结构最好利用结构的对称性进行分析 → 建模简便,结果对称 在MIDAS/Civil中可以将简化后的模型按对称条件输出整体模型 对称条件 几何形状、材料、荷载、边界条件均应对称 边界条件应设置为不能让结构的变形越过对称面 特征值分析/屈曲分析中不能使用对称条件 → 因为模态不是对称的 荷载的大小也应满足对称条件

X X

X

z x y

对称面: zx 平面 应约束的自由度: Ty, Rx, Rz

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荷载的处理 (1)

在节点处作用集中荷载时,在节点处容易发生应力奇异(Stress Singularity)现象 → 平面弹性问题、节点支承 集中荷载作用下的应力奇异性随网格密度的增加而增加直至∞。 板单元/实体单元网格中的集中荷载的处理 垂直于面的荷载: 压力荷载 板单元端部的竖向荷载 ? 压力荷载中的边压力荷载 ? 虚拟梁和梁单元荷载 其他(如: 平面内荷载) 可将相应节点刚性连接后, 在主节点处加集中荷载

拴端部的集中荷载 (使

用刚性连接)

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荷载的处理 (2)

当不可避免地需要加集中荷载时, 较理想的处理方法如下(实际使用起来 同样有难度) 不使用相应位置的分析结果 → 只使用St. Venant原理适用的范围的结果 → 在周边建立较细的三角形单元网格, 忽略相应位置的分析结果 在非常小的范围内用均布荷载替代集中荷载

w

w=

P L?t

P: 集中荷载 t: 厚度 L

在集中荷载位置删掉非常小的单元,用均布荷载代替。

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单元应力和节点应力

Axial Displacement u1=0 u2 u3 u4 Axial Stress

σ1

σ2

σ3

( )

Exact

εx =

q=ax x L1 L2 L3

ui +1 ? ui L σ x = Eε x

x N1 N2

σ1 + σ 2

2

N3

σ 2 +σ3

2

N4

轴力(q)作用下的桁架单元的节点位移

以位移连续为基础的有限元分析中,节点应力值是不精确的(最大误差 30%). 中心点的应力是较为准确的 单元应力是不连续的, 节点应力(绕节点平均值)是单元应力的平均值 使用节点应力应该比使用单元应力更合理一些 最大应力值: 节点应力

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板单元的应力特点

计算板单元的节点应力时,板顶应力与板底应力分别取平均值 相邻板单元的法线方向(z轴)不同时,绕节点平均法计算的节点平均 应力可能会计算有误。

+100

Top Bottom +100 -100 +100 -100 Top Bottom Top Bottom +100 -100

0

+100 -100 Bottom Top

-100

0

在MIDAS/Civil中查看板单元应力结果时,在坐标系选项中选择整体坐 标系时,因为输出的是整体坐标系方向的应力,所以可防止因法线方 向的不同引起的错误。 (默认选项为整体坐标).

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根据材料特性的应力评价 (1)

延性(Ductile Material)

破坏前有相当长的屈服段(塑性变形)的 材料

脆性(Brittle Material)

破坏前屈服段(塑性变形)非常短的 材料 → 伸长量(Elongation)不大于5% → 抗压强度大于抗拉强度 Cast Iron, Concrete, Stone, Glass, Ceramic Materials, Metallic Alloys

Mild Steel, Aluminum, Aluminum Alloys, Copper, Magnesium, Lead, Teflon

破坏准则(Failure Theory)

Maximum Shear Stress Theory (Tresca) Maximum Principal Stress Thoery (Rankine) Maximum Distorsion Energy Theory Maximum Principal Strain Theory (von Mises)

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根据材料特性的应力评价(2)

根据材料特性,使用下列应力评价结构的性能 von Mises Stress (Maximum Distorsion Energy Theory) 组合应力作用下的变形能与抗拉试验的变形能相同时,材料发生屈 服 与试验结果最接近 Tresca Stress (Maximum Shear Stress Theory) 最大剪切应力与抗拉试验的最大剪切应力(屈服应力的1/2)相同时, 材料发生屈服 接近试验结果,提供相对保守的结果,所以一般用于实际设计(特别 是危险部位设计)以及抵抗剪切的部位(锚拴焊接部位等) Principal Stress (Maximum Princi

pal Stress Theory) 最大主应力超过极限强度(σu)时,材料发生屈服 与脆性材料试验结果最接近

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实用的分析结果 (1)

应力向量 输出三个主应力方向的应力向量 可以查看应力的向量图,可以检查出应力集中的位置 可以很方便地查出超过容许应力的位置,以便于加强该位置的截面或 采取相应措施。 剖断面 可以给出任意剖断面上的实体单元的应力 特别适用于实体单元,与动画功能相结合可方便地查看实体单元内部 的应力。 等值面 可以输出试题单元内任意应力值的等值面。

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实用的分析结果(2)

剖断面图 可以输出任意剖断线或剖断面上的板单元的应力图和内力图,对于计 算配筋和制作计算书非常实用 特别是可依输出任意方向的内力,对查看斜桥主应力方向的内力非常 实用 局部方向内力的合力 利用某平面上板单元或实体单元上各节点的内力,可求出作用于选择 单元形心位置上的各方向的内力 特别是对实体单元,一般只输出应力结果,用于实际配筋计算很不方 便。使用该功能可以使设计人员非常方便地计算出内力。

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二维单元网格的类型 (1)

结构化网格 (Structured Mesh) 内部节点的Valence均为4的网格(内部节点的位相相同) 目标的限制 (1) 必须为由四条曲线组成的封闭区域 (2) 相对的两条曲线上有相同的节点数量 FEmodeler: Map-mesher

Mapping

目标曲线不是四个的例子

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二维单元网格的类型 (2)

非结构化网格 (Unstructured Mesh) 内部节点的Valence维持在3~5较好 对目标没有限制 FEmodeler: Auto-mesher (Grid Mesher, Flex Mesher) → 内部可以包含点和线

Regularity Uniformity Boundary Sensitive Orientation Insensitive Sizing Control (

Grid Mesher Flex Mesher

一般使用Grid Mesher, 当尺寸控制超过1:2时 可使用Flex Mesher

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建模时的参考事项

分割

尽量细分模型 尽量先建立最小的标准单元或对称单元,然后利用复制和镜像功能 → 查看是否能由低次单元扩展为高次单元 (扩展后可删除低次单元) 使用最小的标准单元建模 事先建立建模计划 越是复杂的部分,越要努力寻找复合规律的方案 尽量使用结构化网格 → 注意倾斜角(Skew Angle) 要控制网格密度,不要建立过多的单元 → 只细分重要的部位 检查自由边和自由面,确认单元之间的连接

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二维单元网格的划分 (1)

Auto-mesh + Extrude (2)

Auto-mesh Planar Domain

(3) (1)

Wireframe 模型 (平面) Extrude Planar – Linear Array Curve

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二维单元网格的划分 (2)

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二维单元网格的划分 (3)

Mapped-mesh (3)

Map-mesh 4-curve Surface

(1)

(2)

(4)

Wireframe 模型

Curve – Project on Plane

Map-mesh 4-curve Surface

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三维单元网格划分时的参考事项

必须决定对复杂位置的处理方法后再开始建模 检查可使用的扩展方法 1. 首先检查能否使用Stack Method → 在一个平面内画出所有截面(也可使用投影命令), 然后生成二维单元 网格, 然后扩展成为三维网格 2. 选择各种扩展方法 → 复制、旋转、投影(平面/实体)、滑行 3. 沿一个方向扩展较难时,查看是否能向多个方向扩展 4. 检查是否能组合使用各种扩展方法 5. 变截面时,检查是否可先扩展为等截面,然后调整(投影)节点位置 检查分区域扩展的可能性,特别是分区域后使用方法3的可能性

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三维单元网格的扩展方法

Translate Planar Mesh + Mirror

Planar Mesh

Translate Planar Mesh

Guide Curve

Project Solid Mesh

Variable Interval

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建立三维网格 (1)

Stack Method (1)

Auto-mesh Planar Domain

(2)

Extrude Solid – Linear Array Planar Element

(3)

第一次扩展

首先在平面上画出所有截面www.bk188.cn 详细出处参考 :http://www.web17.cn/ 资料参考:百科网

第二次扩展

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建立三维网格 (2)

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建立三维网格 (3-1)

(1) (2)

Wireframe 模型

Auto-mesh Planar Domain

(3)

(4)

Extrude Solid – Glide Planar Element

Extrude Solid – Glide Planar Element

? 对称模型

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建立三维网格 (3-2)

(5) (6) (7)

Curve/Element – Translate (Copy) Extrude Solid Extrude Solid Auto-mesh Planar Element – Linear Array Planar Element – Linear Array Planar Element

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建立三维网格 (4-1)

(1)

? 对称模型

Wireframe 模型

(2)

Auto-mesh Planar Domain

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建立三维网格 (4-2)

(3) (5)

Extrude Solid – Project Planar Element

Extrude Solid – Linear Array [Project] Planar Element

(6)

(4)

Node – Translate Node – Project on Plane Extrude Solid – Project Solid Element

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建立三维网格 (5)

Map-mesh 4-curve Surface

Auto-mesh Planar Domain Extrude Solid – Circular Array Planar Element

Extrude Solid – Linear Array Planar Element

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建立三维网格 (6)

(1) (2)

Wireframe 模型

Map-mesh 12-curve Volume

(3)

(4)

? 对称模型

Extrude Solid – Glide Planar Element 资料参考:百科网 www.bk188.cn 详细出处参考 :http://www.web17.cn/ Auto-mesh Planar Domain

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建立三维网格 (7)

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建立细部分析模型时的注意事项

利用梁单元模型分析结果建立细部分析(使用强制位移)模型时,细部模 型的各端部位置 (1) 要与整体模型的节点位置一致, (2) 要距离重要位置相当远的距离 → 参照前面刚性连接说明 要注意使细部模型的坐标系与整体模型的坐标系一致 → 强制位移的各位移分量方向一致 → 细部分析不正确最常见的原因就是细部模型与整体模型的坐标系不一 致所致。 输入强制位移时,要输入六个位移分量,并尽可能加大有效数值位数→ 特别是对于旋转自由度分量

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细部分析方法 (1)

标准方法

将细部分析模型的各端部的中心位置建立一个主节点,然后将各端部分别设 置刚性连接,最后将整体模型分析中得到的位移值(6个位移分量)作为强制位 移加到各端部的主节点上。

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细部分析方法 (2)

强制位移加载位置

????

当细部分析模型的端部位置不在节点上时,可在主节点处建立一段梁单元,梁 单元长度为从主节点到整体模型的节点位置。

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细部分析方法 (3)

直接将细部分析模型插入到杆系模型中的方法 资料参考:百科网 www.bk188.cn 详细出处参考 :http://www.web17.cn/

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细部分析方法 (4)

Top View 插入

梁+板单元 (B)模型

细部分析板单元 (A)模型 : 螺栓位置 板单元(A)、 (B)部分靠螺栓连接为一体。两个模型分别在螺栓位置建立节点, 然后用刚性连接在相应螺栓节点位置将两个模型连接起来。将对应的螺栓节点 的一点设置为主节点,另一点设置为从属节点。

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细部分析实例 (1)

使用了U型加劲肋的敞开型桥梁 的横向支撑连接和横膈板细部分析模型

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细部分析实例 (2)

拱肋和横向支撑的连接部位 细部分析

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细部分析实例 (3)

拱桥的吊杆连接位置的细部分析

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细部分析实例 (4)

拱肋与主梁相交节点处以及横膈板细部分析

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细部分析实例 (5)

桁架节点细部分析

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细部分析实例 (6)

拱肋与主梁相交节点处细部分析

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细部分析实例 (7)

拱的吊杆连接位置及支座处细部分析

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细部分析实例 (8)

钢箱型主梁和V型桥墩连接位置细部分析

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细部分析实例 (9)

斜拉桥主梁以及主塔锚固位置的细部分析模型

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有限元分析方法

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范文八:起重机吊臂结构有限元]@]@]

@起重机吊臂结构有限元

【摘要】本文基于ANSYS软件对起重机吊臂结构有限元进行了阐述。

【关键词】起重机;吊臂;有限元

一、前言

随着我国起重机行业的不断壮大,起重机吊臂结构有限元的问题引起了人们的重视。我国在此方面取得成绩的同时,也存在一些问题需要改进。在科技不断发展的新时期,需要我们加强对起重机吊臂结构有限元的研究。

二、起重机吊臂结构有限元的概述

吊臂在汽车起重机上是最重要的金属结构部件,也是主要受力构件,吊臂的结构设计直接决定着整个起重机的外观和性能。吊臂结构设计的质量是起重机作业性能和安全的保证,因此在吊臂设计时对吊臂进行受力计算和结构分析计算是十分必要的。纵观这几年的起重机吊臂的发展,从吊臂截面形式的变化,以及伸缩系统单缸插销装置伸缩形式的出现,都记录了起重机吊臂发展的历程.同时也是广大工程技术人员对吊臂不断改进创新的见证。汽车起重机最主要的性能是用来起吊和转运货物的,因此汽车起重机的起重能力是汽车起重机的最主要性能,如何在保证吊臂不被破坏的基础上起吊更大的重量,那就要尽量优化吊臂结构,减轻吊臂的重量。随着有限元分析技术的发展,这种技术也被应用在吊臂的结构设计上,像吊臂的结构强度分析,吊臂简体的稳定性分析等,有限元计算是一种仿真计算,这种计算的准确程度已得到了广泛的证明。有限元分析方法的应用,不但准确,而且比传统的解析法计算有着更好的直观性,从而也为企业缩短了新产品的研发周期,增加了产品质量的可靠性,赢得了市场。

三、吊臂有限元模型的建立

1、实体建模

鉴于ANSYS软件实体造型的局限性和吊臂自身结构的复杂性,文中采用通用三维造型软件SolidWorks对吊臂进行实体建模,之后以Parasolid(x-t)格式将实体模型导人ANSYS进行有限元分析。

2、单元类型的选择

基于软件对吊臂进行有限元分析的通常方法均是将吊臂结构视为线模型,后赋予梁单元属性进行强度和刚度等方面的有限元计算,但是梁单元是用线来代替三维实体结构,并不能反映结构几何上的细节,且伸缩式吊臂是由钢板焊接而成的箱型结构,应该选用二维板壳单元和三维实体单元混合分网,或全部选用三维实体单元划分网格。考虑到吊臂模型较复杂,文中采用三维实体单元Solid187对吊臂进行有限元分析。Solid187单元是一个高阶三维10节点固体结构单元,

范文九:机械结构有限元分析]@]@]

@机械结构有限元分析

有限元分析软件ANSYS在机械设计中的应用

摘要:在机械设计中运用ANSYS软件进行有限元分析是今后机械设计发展的必然趋势,将有限元方法引入到机械设计课程教学中,让学生参与如何用有限元法来求解一些典型零件的应力,并将有限元结果与教材上的理论结果进行对照。这种新的教学方法可以大大提高学生的学习兴趣,增强学生对专业知识的理解和掌

握,同时还可以培养学生的动手能力。在机械设计课程教学中具有很强的实用价值。

关键词:机械设计 有限元 Ansys

前言:机械设计课程是一门专业基础课,其中很多教学内容都涉及到如何求取零件的应力问题,比如齿轮、v带、螺栓等零件。在传统的教学过程中,都是根据零件的具体受力情况按材料力学中相应的计算公式来求解。比如,在求解齿轮的接触应力时,是把齿轮啮合转化为两圆柱体的接触,再用公式求解。这些公式本身就比较复杂,还要引入各种修正参数,因此我们在学习这些内容时普遍反映公式难记,学习起来枯燥乏味,而且很吃力。

近年来有限元法在结构分析中应用越来越广泛,因此如果能将这种方法运用到机械设计课程中,求解一些典型零件的应力应变,并将分析结果和教材上的理论结果进行对比,那么无论是对于提高学生学习的热情和积极性,增强对重点、难点知识的理解程度,还是加强学生的计算机水平都是一件非常有益的事情。

由于直齿圆柱齿轮的接触强度计算是机械设计课程中的一个重要内容,齿轮强度的计算也是课程中工作量最繁琐的部分。下面就以渐开线直齿圆柱齿轮的齿根弯曲疲劳强度的计算为例,探讨在机械设计课程中用ANSYS软件进行计算机辅助教学的步骤和方法,简述如何将有限元方法应用到这门课程的教学中。

1.传统的直齿圆柱齿轮齿根弯曲疲劳强度的计算

传统方法把轮齿看作宽度为b的矩形截面的悬臂梁。因此齿根处为危险剖面,它可用30。切线法确定。如图l所示。

作与轮齿对称中心线成30。角并与齿根过渡曲线相切的切线,通过两切点作平行与齿轮轴线

的剖面,即齿根危险剖面。理论上载荷应由同时啮合的多对齿分担,但为简化计算,通常假设全部载荷作用于齿顶来进行分析,另用重合度系数E对齿根弯曲应力予以修正。

由材料力学弯曲应力计算方法求得齿根最大弯曲应力为:

1

式中:K是载荷系数;T是齿轮传递的名义转矩;b是齿宽;d是齿轮分度圆直径:m是模数;Yfd是齿形系数;Ysa是应力修正系数;Yg是重合度系数。

2.用有限元法对直齿圆柱齿轮齿根弯曲疲劳强度进行计算

(1)建立几何模型 在ANSYS软件中,根据圆柱直齿轮的齿廓和过渡曲线坐标建立几何模型。齿轮具体参数为分度圆压力角是20。,模数是3.5mm,齿顶高系数是1.0,顶隙系数是O.25,齿数是23。

(2)约束条件和边界处理 当轮齿受力时,齿轮体不可能是绝对刚性,与轮齿相连部分也有变形,当离齿根的深度大于或等于模数的4.5倍时基本上不再受影响,可以近似看作该处的实际位移为零;另外,两侧齿间中点处的位移很小,可以忽略不计,也可以认为该处的实际位移为零,这样即可划定其零位移约束边界。模型中,可在零位移约束边界的各节点处安装铰支座来实现。因此,对于单齿模型,若齿轮的模数为m,则零位移约束边界的范围为:横向宽取5m,纵深方向距齿根圆弧最低点取4.5m。

(3)单元类型的选择 在有限元计算模型中,选择具有八个节点二十四个自由度的四边形单元。这是因为齿轮轮齿齿廓形状为渐开线,采用四边形单元能较好地逼近齿轮齿廓的曲边形状;八节点四边形等参单元是采用通过边界上三个节点的二次抛物线来局部近似代表齿根曲线的,这与三角形单元以直线边界来代表曲线边界相比,显然大大地提高了对原边界曲线的拟合性,减少了在离散化过程中,因求解区域的近似处理带来的误差。

(4)进行网格划分 根据齿轮上应力分布的情况,在应力梯度较大的齿根区域网格划分的细密一些,在应力变化比较平缓的区域网格划分的稀疏一些。划分网格后ANSYS模型如图2所示。

(5)轮齿的作用载荷 由于当载荷作用在在单齿啮合上界点处时,齿根弯曲应力达到最大值,故将载荷置于齿轮单齿啮合上界点。当齿轮传动功率P=45kW,齿轮转速n=1000r/min时,齿宽b=30mm时,传递的名义转矩T=429N·m。水平与垂直分

2

式中,a’是单齿啮合上界点的载荷角,如图1所示。

(6)求解 应用ANSYS软件对所建立的模型进行分析。

弹性模量取为,泊松比取为0.25。所得的应力等值线如图3所示,由此图可以看出应力的分布情况。轮齿的中间和上部的应力较小,齿根过渡曲线处应力较大,最大应力出现在

30。切线法所确定的危险截面附近,由中间向两边齿侧逐渐增大。而且通过ANSYS软件还可以分析齿轮综合位移以及齿廓任意点受载时的应力和位移等值线,载荷作用于节点时应力和位移等值线如图3和图4所示。

3.传统算法与有限元算法的比较

传统算法的初始条件见表1,功率和转速与有限元法相同,载荷系数取k=1.28,代入式(1)可得齿轮齿根危险截面弯曲应力

在传统算法中,重合度系数Y已经将载荷作用于齿顶时的弯曲应力转换成载荷作用于单齿啮合上界点时的弯曲应力;而有限元算法中,是将载荷直接加在单齿啮合上界点,故可以直接比较结果。可见有限元计算结果与传统方法计算结果误差为6.4%。

由此可见,ANSYS软件在机械设计中的精确度是很高的,而且人工计算量比传统方法小很多。除此之外,ANSYS软件还可以对一些特殊零件进行分析计算,如复合型轴承、复杂曲面的箱体等。而这些是传统方法无法完成的。比如现在新兴的一种双压力角非对称齿廓渐开线齿轮,具有承载能力高,振动低,重量轻等优点。由于非对称齿轮两边压力角不同,故无法通过传统方法计算分析,而用有限元法只要输入齿廓坐标建模就可以很轻松地对其进行计算分析。

,有限元法计算结果

3

在机械设计课程教学中,与有限元分析软件ANSYS应用相结合,可以大大减少学生计算工作量,提高计算、设计的效率。通过比较ANSYS软件和传统方法的计算结果,可以让学生更深入思考机械设计中的细节问题,提高学生对机械设计课程的学习兴趣,巩固他们所学的知识。

通过对齿轮弯曲应力的传统算法和有限元算法的比较,可以看出有限元算法的精度是比较高的,人工计算量比传统算法要小很多,而且对一些传统算法无法求解的特殊曲面、箱体、复合轴承等以及常规零件的任意位置也可以进行计算分析,为学生将来的科研、工作打下良好的基础。

参考文献

1. 濮良贵,等.机械设计[M].北京:高等教育出版社,2001.

2. 龚淮义,陈式椿,王永洁.渐开线圆柱齿轮强度计算与结构设计[M].北京:机械工业出版社,1986.

3. 邓宗全.机械设计及机械原理教学改革的理论与实践[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002.

4. 张文志 等, 机械结构有限元分析[M], 哈尔滨工业大学出版社,2006 5. 李黎明, ANSYS有限元分析实用教程-配套光盘[M], 清华大学出版社,2001. 6. 张国瑞 有限元法 北京 机械工业出版社 1991

7. 刘惟信 机械最优化设计(第二版) 北京 清华大学出版社 1994 8. 孙靖民 梁迎春 陈时锦 机械结构优化设计 哈尔滨 哈尔滨工业大学出版社 2004

9. 于开平 周传月 谭惠丰 HyperMesh从入门到精通 北京 科学出版社 2005 10. 周宁,冼进.ANSYS机械工程应用实例.北京:中国水利水电出版社,2006

4

范文十:钢架结构有限元分析

专题报道

有限元分析/优化设计

%SPECIAL

REPORT

钢架结构有限元分析

孙拥军,陈东栋

(北京航天试验技术研究所,北京100074)

摘利用UG软件在计算机上建立钢架结构3D模型,基于ANSYSWorkbench协同仿真平台,计算钢架结构在外要:

力作用下产生的应力和应变,从而验证所设计的钢架结构能够满足强度要求,为钢架结构设计提供有益的参考。

钢结构;有限元;UG;ANSYSWorkbench关键词:

中图分类号:TP391文献标识码:A文章编号:1002-2333(2008)08-0049-02

CHENDong-dong

FEMAnalysisonSteelStructure

SUNYong-jun,

(BeijingInstituteofAerospaceTestingTechnology,Beijing100074,China)

Abstract:The3DmodelofsteelstructureisestablishedbyusingUGinthecomputer,onthebaseofthecircumstancesofANSYSWorkbench,thestressandstrainofsteelstructurearecalculatedundertheappliedforce,theresultsindicatethattheintensityofthissteelstructureisenough,thusitprovidesavaluablereferencefordesignofsteelstructure.

Keywords:steelstructure;finiteelement;UG;ANSYSworkbench

1钢架结构有限元分析思路

钢架结构由钢板、角钢焊接而成,起着承载外力的作

2有限元模型的建立

(1)建模软件和分析平台介绍

采用的UG是一套基于Windows平台上的参数化3D实

使用常规的设计计算方法,难以直观了解其在使用过用。

程中的变形和受力情况。随着CAD和CAE技术的不断完善与整合,可采用UG和ANSYSWorkbench软件进行联合分析,验证钢结构是否满足强度要求,分析流程如图1所示。

则将不利于曲面光顺性。3.3

曲面生成

最后一步是用上面得到的一组插值曲线进行蒙面操图6显示图5截面线生作,生成一张双三次B样条曲面。

体模型构建软件,有限元分析则是基于ANSYSWorkbench协同仿真平台。ANSYSWorkbench是新一代的CAE分析环境和应用平台,它提供了统一的开发和管理CAE信息的工作环境,提供高级功能的易用性,包括

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

(0,0.000415)(1,0.000416)

图9可变式进气歧管第四根管子的曲线图

曲率变化来评价光顺效果,但并无具体的曲率值作依据,多数场合还是以人的眼光来判断曲面是否光顺(观矢量图和发射线图等)。因此,光顺性评价归察曲率图、

图6

截面线曲面图

图7可变式进气歧管的

曲面重建图

入非量化指标。通过对可变式进气歧管曲面进行曲率梳状图分析,可满足基本要求。曲率梳状图结果如图8所示,图9是其曲线图表显示。

[参考文献]

[1]PourazadyM,XuX.DirectmanipulationsofB-splineandNURBS

curves[J].AdvancesinEngineeringSoftware,2000(31):107-118.

(编辑黄

荻)

成的曲面。按上述做法作出的可变式进气歧管曲面重建如图7所示。4

可变式进气歧管曲面曲面品质分析方法主要是分析曲面的光顺性,尽管可以通过曲面的光顺评价

图8

可变式进气歧管第四根管子的曲率梳状图

!!!!!!!!!!

作者简介:时雨(1963-),男,高级工程师,硕士研究生,研究方向为机

械工程。

收稿日期:2008-03-26

机械工程师2008年第8期

49

专题报道

%SPECIAL

REPORT

有限元分析/优化设计

钢架结构参数

CAE建模模块DesignModeler,分析模块Designsimulation,优化分析模块Design

优化结构参数

加在钢架结构的顶面,如图4所示。3

有限元分析结果

根据上面建立的有限元分析模型,通过ANSYSWorkbench的simulation分析模块进行了计算。

钢架结构在承载外力的作用下,各类云图如图5~7所示。从应力图中看出,钢架结构的应力水平很低,处于132Pa~188MPa之间,尚未达到材料的塑性阶段,这表明此钢架结构具有足够的强度,满足设计的要求。产生最大Mises应力的位置点如图5所示,最大应力处,在钢架焊接时,应注意焊接方法,尽量消除应力集中影响。

UG参数化建模ANSYSWorkbench

建立有限元模型ANSYSWorkbench

加载、求解有限元分析结果满足强度要求?

Y

输出分析结果

N

Xplorer以及网格工具CFXMesh等。

(2)建立有限元模型利用UG软件在计算机中进行建模,将单位设定为国标单位,建模过程完全以设计图纸的实际结构尺寸为依据,钢架结构尺寸

图1钢架结构有限元分析流程图

顶板为3m×1.325m。由于钢架结为500mm×400mm×6m,

构零部件较多,在建立几何模型时,以各零部件为单元分别进行建模,完成各零件的三维建模后,按装配约束关系进行零部件装配,钢架结构的整体几何模型如图2所示。

图2钢架结构几何模型

图5钢架结构Mises

应力云图

6钢架结构变形

位移云图

完成钢架结构的三维建模后,通过UG和ANSYS

同时,在外力作用下,钢架结构的变形非常小,变形最大值为4.88mm,位置点如图6所示。最大变形处,在钢架结构加工制作时,可以适当进行加强,增加刚度。变形云图说明钢架结构具有足够的刚度,结构设计合理。

低于安全系数1的为不安全部位,从安全系数云图3中看出钢架结构的安全系数均达到1.25以上,说明设计的结构是安全的、可靠的。4

结论

利用UG和ANSYSWorkbench软件对钢架结构的实体建模和有限元分析,得到以下结论:(1)该钢架结构设计合理,其力学性能可以满足设计的强度要求,分析结果为设计者提供参考依据。(2)从应力和变形云图中可以最大变形发生看出,钢架结构在承载外力时,最大应力、的部位,为钢架结构的加工生产提供工艺指导。(3)UG设计软件和ANSYSWorkbench分析软件联合使用,进行双向参数传递,能够对钢架结构系统进行有效可靠的分析,同时也可以对设计的方案进行优化,从而使设计工作效率和可靠性得到显著提高。

[参考文献]

[1]李浩.基于AUTODESKINVENTOR和ANSYSWORKBENCH的

水面闸门底座计算分析[J].水运工程,2007(6):46-50.

(编辑明涛)

Workbench的无缝连接,将UG环境中建立的CAD模型直接导入ANSYSWorkbench环境中进行有限元分析。

在ANSYSWorkbench的simulation模块中,定义钢

架结构材料为碳钢,材料性能为:弹性模量2×105MPa,泊松比0.3,屈服应力235MPa,屈服极限380MPa。运用自由网格划分技术,对所建立的几何模型进行有限元网格划分,划分网格后单元数为27338,节点数为65165,建立的有限元模型如图3所示。

图3钢架结构有限元模型

图7

钢架结构安全系数云图

(3)荷载及边界条件在ANSYSWorkbench静强度分析环境中,零部件的接触关系共有Bonded,Nosepatation,Frictionless,Rough,Frictional5种。钢架结构的零部件间均为焊接,故视钢架结构所有零部件的接触关系为Bonded。

约束情况:对钢架结构底座进行全自由度约束,将底座约束状态定义为Fixed

图4钢架结构约束模型

support。并对钢架结构施加荷载,钢架结构承受的荷载为以均匀压力施作用在其顶面的垂直荷载,大小为1960N,

!!!!!!!!!!

作者简介:孙拥军(1981-),男,助理工程师,硕士研究生,主要从事机

械设计和钢结构设计及校核工作。

收稿日期:2008-03-24

50

机械工程师2008年第8期

本文来源:https://www.wnzmb.com/zuowen/74202/

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